Фигура вроде куба – 3,4,5,6- . , .


19.11.2020 Facebook Twitter LinkedIn Google+ Советы художника


Гиперкуб. Первый шаг в четвертое измерение

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века в работах Г. Грассмана, А. Кэли, Б. Римана, В. Клиффорда, Л. Шлефли и других математиков. В начале XX века с появлением теории относительности А. Эйнштейна и идей Г. Минковского в физике стали использовать четырехмерную пространственно-временную систему координат.

Потом идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения. Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Звенья цепи легко можно рассоединить, а узел на веревке развязать, не прикасаясь к ее концам. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента. Мистики поместили души усопших в четвертое измерение. Для обычного человека идея четырехмерного пространства осталась непонятной и таинственной, а многие вообще считают четырехмерное пространство плодом воображения ученых и фантастов, не имеющего никакого отношения к реальности.

Проблема восприятия

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.

Чтобы составить наглядное представление о четырехмерных фигурах, будем использовать аналогии из пространств низшей размерности для экстраполяции на фигуры высшей размерности, пользоваться методом моделирования, применять методы системного анализа для поиска закономерностей между элементами четырехмерных фигур. Предложенные модели должны адекватно описывать свойства четырехмерных фигур, не противоречить друг другу и давать достаточное представление о четырехмерной фигуре и, в первую очередь, о ее геометрической форме. Так как в литературе нет систематического и наглядного описания четырехмерных фигур, а имеются только их названия с указанием некоторых свойств, мы предлагаем начать изучение четырехмерных фигур с самой простой – четырехмерного куба, который называется гиперкубом.

 

Определение гиперкуба

Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб.

Политоп – это четырехмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника. Гиперкуб является аналогом трехмерного куба.

Мы будем иметь представление о гиперкубе, если познаем его свойства. Субъект воспринимает некоторый объект, представляя его в виде некоторой модели. Воспользуемся данным методом, и представление о гиперкубе изложим в виде различных моделей.

 

Аналитическая модель

Будем рассматривать одномерное пространство (прямую линию) как упорядоченное множество точек M(x), где x – координата произвольной точки прямой. Тогда единичный отрезок задается указанием двух точек: A(0) и B(1).

Плоскость (двумерное пространство) можно рассматривать как упорядоченное множество точек M(xy). Единичный квадрат будет полностью определен его четырьмя вершинами: 

A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Координаты вершин квадрата получены добавлением к координатам отрезка нуля, а потом единицы.

Трехмерное пространство – упорядоченное множество точек M(xyz). Для задания трехмерного куба необходимо восемь точек:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Координаты куба получены из координат квадрата добавлением нуля, а потом единицы.

Четырехмерное пространство есть упорядоченное множество точек M(xyzt). Для задания гиперкуба нужно определить координаты шестнадцати его вершин:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Координаты гиперкуба получены из координат трехмерного куба добавлением четвертой координаты, равной нулю, а потом единице.

Используя формулы аналитической геометрии для четырехмерного евклидового пространства, можно получить свойства гиперкуба. 
В качестве примера рассмотрим вычисление длины главной диагонали гиперкуба. Пусть требуется найти расстояние между точками A(0, 0, 0, 0) и R(1, 1, 1, 1). Для этого воспользуемся формулой расстояния в четырехмерном евклидовом пространстве.

В двумерном пространстве (на плоскости) расстояние между точками A(x1y1) и B(x2y2) вычисляется по формуле

Эта формула следует из теоремы Пифагора.

Соответствующая формула расстояния между точками A(x1y1z1) и B(x2y2z2) в трехмерном пространстве имеет вид

И в одномерном пространстве (на прямой) между точками A(x1) и B(x2) можно записать соответствующую формулу расстояния:

Аналогично расстояние между точками A(x1y1z1t1) и B(x2y2z2t2) в четырехмерном пространстве будет вычисляться по формуле:

Для предложенного примера находим

Таким образом, аналитически гиперкуб существует, и его свойства можно описать не хуже, чем свойства трехмерного куба.

 

Динамическая модель

Аналитическая модель гиперкуба очень абстрактна, поэтому рассмотрим другую модель – динамическую.

Точка (нульмерная фигура), двигаясь в одном направлении, порождает отрезок (одномерную фигуру). Отрезок, двигаясь в направлении перпендикулярно самому себе, создает квадрат (двумерную фигуру). Квадрат, двигаясь в направлении перпендикулярно плоскости квадрата, создает куб (трехмерную фигуру).

Куб, двигаясь перпендикулярно трехмерному пространству, в котором он находился первоначально, порождает гиперкуб (четырехмерную фигуру).

Граница гиперкуба трехмерна, конечна и замкнута. Она состоит из трехмерного куба в начальном положении, трехмерного куба в конечном положении и шести кубов, образованных при движении квадратов исходного куба в направлении четвертого измерения. Вся граница гиперкуба состоит из 8 трехмерных кубов (ячеек).

При движении в первоначальном положении куб имел 8 вершин и в конечном положении также 8 вершин. Следовательно, гиперкуб имеет в общей сложности 16 вершин.

Из каждой вершины исходят по четыре взаимно перпендикулярных ребра. Всего ребер у гиперкуба – 32. В первоначальном положении у него было 12 ребер, в конечном положении также 12 ребер, и 8 ребер образовали вершины куба при движении в четвертом измерении.

Таким образом, граница гиперкуба состоит из 8 кубов, которые состоят из 24 квадратов. А именно, 6 квадратов в исходном положении, 6 – в конечном, и 12 квадратов, образованных при движении 12 ребер в направлении четвертого измерения.

Геометрическая модель

Динамическая модель гиперкуба может показаться недостаточно наглядной. Поэтому рассмотрим геометрическую модель гиперкуба. Как мы получаем геометрическую модель трехмерного куба? Мы делаем его развертку, а из развертки «склеиваем» модель куба. Развертка трехмерного куба состоит из квадрата, к сторонам которого приложено по квадрату плюс еще один квадрат. Примыкающие квадраты поворачиваем вокруг сторон квадрата, а соседние стороны квадратов соединяем друг с другом. А оставшиеся четыре стороны замыкаем последним квадратом (рис. 1).

Аналогично рассмотрим развертку гиперкуба. Его разверткой будет являться трехмерная фигура, состоящая из исходного трехмерного куба, шести кубов, примыкающих к каждой грани исходного куба и еще одного куба. Всего восемь трехмерных кубов (рис. 2). Чтобы из данной развертки получить четырехмерный куб (гиперкуб), нужно повернуть на 90 градусов каждый из прилегающих кубов. Эти прилегающие кубы будут расположены в другом трехмерном пространстве. Соседние грани (квадраты) кубов соединить друг с другом. Вложить восьмой куб гранями в оставшееся незаполненное пространство. Получим четырехмерную фигуру – гиперкуб, граница которого состоит из восьми трехмерных кубов.

Изображение гиперкуба

Выше было показано, как из трехмерной развертки «склеить» модель гиперкуба. Изображения мы получаем с помощью проекции. Центральная проекция трехмерного куба (его изображение на плоскости) выглядит следующим образом (рис. 3). Внутри квадрата находится другой квадрат. Соответствующие вершины квадрата соединены отрезками. Прилегающие квадраты изображены в виде трапеций, хотя в трехмерном пространстве это квадраты. Внутренний и внешний квадраты разных размеров, но в реальном трехмерном пространстве это равные квадраты.

Аналогично центральная проекция четырехмерного куба на трехмерное пространство будет выглядеть так: внутри одного куба находится другой куб. Соответствующие вершины кубов соединены отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трехмерном пространстве, но в четырехмерном пространстве это равные кубы (рис. 4).

Шесть усеченных пирамид – это изображения равных шести ячеек (кубов) четырехмерного куба.

Эту трехмерную проекцию можно нарисовать на плоскости и убедиться в истинности свойств гиперкуба, полученных с помощью динамической модели.

Гиперкуб имеет 16 вершин, 32 ребра, 24 грани (квадрата), 8 ячеек (кубов). Из каждой вершины исходят по четыре взаимно-перпендикулярных ребра. Границей гиперкуба является трехмерная замкнутая выпуклая фигура, объем которой (боковой объем гиперкуба) равняется восьми единичным трехмерных кубам. Внутри себя эта фигура содержит единичный гиперкуб, гиперобъем которого равняется гиперобъему единичного гиперкуба.

 

Заключение

В данной работе ставилась цель дать первоначальное знакомство с четырехмерным пространством. Сделано это было на примере самой простой фигуры – гиперкуба.

Мир четырехмерного пространства удивителен! В нем, наряду с похожими фигурами в трехмерном пространстве, существуют и фигуры, аналогов которых нет в трехмерном пространстве.

Многие явления материального мира, макромира и мегамира, несмотря на грандиозные успехи в физике, химии и астрономии, так и остались необъяснимыми.

Нет единой теории, объясняющей все силы природы. Нет удовлетворительной модели Вселенной, объясняющей ее строение и исключающей парадоксы.

Познав свойства четырехмерного пространства и позаимствовав некоторые идеи из четырехмерной геометрии, можно будет не только построить более строгие теории и модели материального мира, но и создать инструменты и системы, функционирующие по законам четырехмерного мира, тогда возможности человека окажутся еще более впечатляющими.

cosmos.mirtesen.ru

Журнал "Квадрат"

Журнал "Квадрат" #1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


Выпуск 1

О чём рубрика?

В этой рубрике мы будем делать различные объёмные геометрические фигуры - многогранники - из бумаги. Любую фигуру можно аккуратно разрезать по нескольким рёбрам так, что можно будет её полностью развернуть на плоскости. Такой полный разворот фигуры называется развёрткой

Следовательно, можно склеить даже самую сложную фигуру, надо только правильно составить её развёртку

на бумаге. Но составление такой развёртки - задача не простая, но зато жутко интересная!

Кроме того, это занятие очень хорошо развивает пространственное воображение. Любой предмет в окружающем нас мире можно представить как многогранник или состоящим из нескольких многогранников. В итоге мы сможем сделать из бумаги фигуру любой сложности!

Если вам покажется, что фигуры, приведенные в нашей рубрике слишком простые или неинтересные, то вы можете придумать свои фигуры. Развёртки своих поделок присылайте нам: [email protected], наиболее красивые мы опубликуем. Если же какая-то фигура у вас не получается, то пришлите рисунок этой фигуры, и мы вместе составим развёртку.

Рабочее место

Перед тем как начать, подготовьте себе рабочее место: стол с хорошим освещением - работа предстоит скрупулёзная. Приготовьте клей для бумаги, лучше ПВА. Простой канцелярский клей имеет особенность желтить бумагу. Ещё нужны кисточка для клея, ножницы, линейка, ручка и платочек для удаления излишков клея. Всё это аккуратно разложите на столе на расстоянии вытянутой руки.

Фигура #1. Куб

Начнём с одной из простейших фигур - куба, что неудивительно. Куб - это ведь квадрат на плоскости, символ нашего журнала. Куб является одним из пяти правильных многогранников, он состоит из шести граней - квадратов. Его научное название гексаэдр, что означает шестигранник.

Внимательно рассмотрите развёртку. Кликните по ней, чтобы увеличить изображение. Белые ярлычки по бокам - для проклейки. Сплошные линии - это линия для разреза, пунктирные линии - линии сгиба. Это очень важно, ни в коем случае не перепутайте!

Распечатайте или аккуратно перерисуйте развёртку фигуры. Бумагу желательно выбрать плотнее, хотя можно обойтись и обычной. Аккуратно вырежьте развёртку по сплошным линиям.

Та сторона развёртки, где видны линии, это внутренняя сторона фигуры. А другая сторона - лицевая, её можно раскрасить, как вам нравится, фломастерами или карандашами. Красками фигуру можно раскрасить и после того, как она будет готова. А можно использовать сразу цветную бумагу, только развёртку надо распечатывать или рисовать на оборотной стороне.

Теперь возьмите ручку и аккуратно, с помощью линейки, проведите по всем линиям сгиба. Это поможет легче и ровнее сгибать фигуру.

Согните фигуру по всем линиям сгиба. Возьмите клей, кисточкой наносите на белые ярлычки по одному и приклеивайте их согласно буквенным обозначениям. Излишки клея убирайте специально приготовленным платочком.

Самое трудное - сделать последний склей, потому что его очень трудно прижать. Чем плотнее бумага, тем проще приклеить последний ярлычок. Но чем плотнее бумага - тем сложнее её сгибать.

Теперь нужно подождать некоторое время, пока не высохнет клей, и всё - наш куб готов! Вы можете сравнить получившуюся фигуру с изображённой на рисунке.

Фигура #2. Тетраэдр

Но куб только второй из пяти правильных многогранников. Первым же является тетраэдр, что означает четырёхгранник. Он состоит из четырёх правильных, или равносторонних, треугольников.

Кликнув по развёртке тетраэдра, вы можете увеличить её. Тетраэдр более лёгок для сборки, чем куб, так как у него меньшее число граней. Теперь вы уже знаете, как правильно склеивать фигуру. На следующем рисунке можно увидеть уже готовый тетраэдр.

Фигура #3

И, наконец, фигура для тех, кто любит посложнее. Фигур можно составить столь великое множество, что не для всех можно придумать названия, а потому фигура #3 без названия.

На первом рисунке изображена развёртка фигуры - кликните по ней, чтобы увеличить. На втором рисунке - готовая фигура.

Для первого выпуска, пожалуй, достаточно. Пишите нам: [email protected].

Следующий выпуск рубрики

Автор и ведущий рубрики: Квадрат.

Дата последней редакции: Полный разворот © 1990-2016

e-quadrat.narod.ru

куб, 4D - Кедр

А как выглядит трехмерная развертка четырехмерного куба?


Немного абстрактных рассуждений. Точка на плоскости определяется двумя координатами, в объеме — тремя, в N-мерном пространстве координатами (x1, x2... xN). Развертка N-мерной фигуры сводится к размещению в виде мозаики поверхности фигуры в пространстве N-1. Можно пойти дальше и разворачивать на N-2 и т.д.

Таким образом, куб сводится к шести квадратам, затем каждый квадрат к четырем отрезкам и т.д. Теперь конкретно об N-мерном кубе. Он удобен тем, что его поверхность состоит из одинаковых элементов (размерностью N-1). Алгоритм построения развертки прост. Нужно взять один элемент, назовем его центральным. С каждой из сторон (размерностью N-2) присоединить копию элемента. Наконец, к любому из боковых элементов присоединить вдоль стороны еще один элемент. Всё.

Восстановление поверхности куба из развертки сводится к сгибанию под углом 90о вдоль сторон, то есть переводу боковых элементов в новое измерение. Заключительный этап: закрытие фигуры тем самым дополнительным элементом.

Итак, сколько элементов поверхности у N-мерного куба? 2*N. Смотрим, действительно: квадрат имеет 4, куб — 6, так как N пар плоскостей (куб заключен между пересекающимися плоскостями). Наш искомый 4D-куб имеет 8 трехмерных элементов, образующих его поверхность.

Как их расположить? Вокруг шести сторон центрального 3D-куба. Плюс один дополнительный кубик. Вот что получилось:

трехмерная развертка четырехмерного куба

Всего кубиков 8, центральный кубик почти не виден, он спрятан. Построение 4-мерного куба сводится к "сгибанию" через боковые квадраты шести кубиков в центр, затем туда же дополнительный кубик. Мы результат не увидим, для жителей трехмерного мира все дополнительные кубики "провалятся" внутрь центрального. Также как при сгибании двумерной развертки на плоскости остается один квадрат, остальные уходят в третье измерение.

Но мы можем сказать, что у 4D-куба будет 16 углов, 32 ребра. Количество углов удваивается при переходе из N-1 в N (у квадрата 4 угла, у куба 8, и т.д.), а ребра не только удваиваются, но к ним добавляются ребра, соединяющие вершины (у квадрата 4 ребра, у куба 12). Если длина ребра 1м, то пространство внутри построенной поверхности 1м4.

В википедии статья "Тессеракт" о 4-х мерном кубе с картинкой: есть возможность "увидеть в перспективе" 4D-куб, хотя бы пересчитать все рёбра на картинке, пожертвовав в пользу искажений (как мы "видим" объем, изображенный на плоскости). Но это иллюзия.

[построение 3D куба из развертки]

Вот как выглядит для жителей двумерного мира построение трехмерного куба из двумерной развертки. Для нас это вид сверху (потеря одной координаты):

1. была двумерная фигура, состоящая из 6 квадратов. Её можно не рассматривать как развертку (просто крестик). Чтобы называться разверткой, мы должны знать алгоритм построения фигуры из развертки.

2. начали сгибать и переводить в 3D ("поднимать стены"), но с точки зрения 2D-наблюдателя боковые квадраты "входят" в центральный, фигура уменьшается

3. а в перспективе (при взгляде не сверху, а под углом) лучше видно процесс построения куба из развертки

4. Мы построили пустотелую фигуру. Последний шаг: заполнение пространства (не показан).

Схематично трехмерный куб в перспективе можно изобразить так (это всего лишь линии на плоскости, но воображение дорисовывает объем):

Или в "перспективе внутрь":

То же самое и с 4D-кубом. На двумерном экране монитора или в нашем обычном 3D-пространстве только с помощью воображения. Тем более с 5-, 6- и т.д-мерными кубами. А также другими фигурами.

Еще раз ссылка на статью в википедии: есть возможность "увидеть в перспективе" 4D-куб, хотя бы пересчитать все рёбра на картинке, пожертвовав в пользу искажений (как мы "видим" объем, изображенный на плоскости). Но это иллюзия.

panoramov.livejournal.com

Comments