Рисунок по геометрии осевая симметрия: Осевая симметрия рисунки по геометрии

---

24.05.2023 Разное

---

План-конспект урока по геометрии в 8-м классе на тему «Осевая и центральная симметрия»

Тип урока: открытие нового знания.

Цель урока: создание условий для актуализации знаний по теме «Осевая и центральная симметрия» и усвоения новых знаний по теме «Осевая и центральная симметрия».

Задачи урока:

• Организовать деятельность учащихся по изучению обобщению и систематизации знаний по теме «Осевая и центральная симметрия»; усвоение обучающимися знаний о движении на плоскости.
• Развивать навыки взаимоконтроля и самооценки в приобретении новых знаний и умений; развитие мыслительных операций: анализа, синтеза, обобщения, сравнения; развитие логического мышления, математической речи, внимания.
• Воспитание культуры математической речи.

Прогнозируемые результаты:

Предметные:

• обобщение и систематизация знаний по теме «Осевая и центральная симметрия»;
• усвоение обучающимися знаний о движении на плоскости.

Метапредметные:

• Способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, находить способы её осуществления;
• Умение планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения;
• Умение оценивать себя и результаты своей работы.

Личностные:

• Формировать умение работать в коллективе и находить согласованные решения.

Технологии, методы и приемы: проблемное обучение, частично- поисковый метод, устный опрос у доски, демонстрация (слайды), лекция, фронтальный опрос, практикум по решению задач, педагогическая поддержка, незаконченное предложение.

Оборудование: учебники по геометрии, раздаточный материал.

Список использованной литературы

:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б, Геометрия[Текст] / Л. С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев: Учеб. для 7-9 кл.общеобразоват. учреждений. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2017. -383с.

Ход урока

1. Мотивационно-целевой этап

1.1. Организация учащихся на урок.

Настрой на урок. Проверка готовности группы к уроку и приветствие всех присутствующих.

1.2. Актуализация опорных знаний.

Ознакомление с порядком проведения урока, рекомендации обучающимся, на что необходимо обратить особое внимание, что следует записать в рабочую тетрадь.

Вопросы:

1.«Переход из одного состояния развития в другое состояние развития — это…»

2.«Изменение положения тела или его части — это …»

3.«Внутреннее побуждение, вызванное каким-нибудь чувством переживанием — это … » (Движение)

4. На каких уроках вы встречались с понятием «движение»?

— На уроках физики, химии, биологии, физической культуры, а затем на уроке геометрии, алгебры и информатики.

Как много в нашем мире красоты,
Которой, часто мы не замечаем.
Все потому, что каждый день встречаем
Её давно знакомые черты.
Мы знаем, что красивы облака,
Река, цветы, лицо любимой мамы,
И Пушкина, летящая строка,
И то, что человек
Красив делами…
Но, можно ли всё это объяснить?
И что подскажут в этом нам науки?

Рисунок — Изображение симметричных картинок

О каком математическом понятии идет речь в этом высказывании? (О симметрии).

1.3. Определение темы и цели урока.

— Как вы думаете, о каком понятии мы будем говорить? И какова цель нашего урока?

— Действительно, сегодня на уроке мы изучим, что такое симметрия, какие виды симметрии существуют. Более подробно остановимся на осевой и центральной симметриях.

1.4. Обеспечение мотивации познавательной деятельности учащихся

— Ребята, а что такое симметрия? Как вы понимаете?

Понятие симметрии возникло в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э. Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Что такое симметрия?

Это врождённое чувство. На чём же оно основано?» Сегодня на уроке постараемся ответить на вопросы.

Явление симметрии подробно изучил немецкий математик Герман Вейель. О симметрии он сказал так: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Симметрию нам подарила природа, а человек изучает это явление. Рассмотрим это явление с точки зрения геометрии.

2. Процессуально-познавательный этап

2.1. Открытие новых знаний.

Поэтапное восприятие и осмысление нового материала.

У вас на столах лежат задания к лабораторной работе.

В результате выполнения работы вы должны сформулировать определение точек симметричных относительно прямой. На выполнение работы вам отводится 5 минут. Выполнив лабораторную работу вам необходимо дописать в определение пропущенные слова и записать его в рабочую тетрадь.

1. Определение симметрии относительно прямой.

1. Возьмите лист белой бумаги, согните его пополам.

2. Проткните двойной лист иголкой, а затем разогните.

3. Вы получили две точки. Обозначьте одну буквой В, а другую — В1.

4. Соедините точки В и В1 отрезком.

5. Измерьте расстояние от точек В и В1 до линии сгиба.

6. Сравните эти расстояния.

7. Дополните пропущенные слова в определении. И запишите его в тетрадь.

Рисунок — Симметричный отрезок ВВ1

— Мы рассмотрели симметрию относительно прямой или оси, т.е. осевую симметрию. Оказывается, таким свойством обладают различные фигуры.

Причитайте определение фигуры, симметричной относительно прямой по учебнику стр. 110.

— Этим свойством обладают, например, стр.110 учебника рис.172, равносторонний треугольник, круг, ромб, прямоугольник, отрезок. Такие фигуры называются симметричными относительно прямой. Их можно перегнуть по какой-то прямой, при этом одна часть фигуры полностью совпадет с другой частью. Причем ось симметрии может быть одна или несколько.

Назовите еще геометрические фигуры, имеющие ось симметрии. (квадрат, равнобедренная трапеция, равнобедренный треугольник).

Но не все фигуры имеют ось симметрии. У каких фигур оси симметрии нет? (ответ: разносторонний треугольник, параллелограмм).

Рисунок — Примеры фигур, имеющие ось симметрии

2. Определение симметричных фигур относительно данной точки.

Оказывается, можно построить симметричные точки не только относительно прямой, но и относительно какой-либо точки.

Центральная симметрия — это симметрия относительно точки. Возьмём произвольную точку А и точку О, относительно которой будем строить симметричную точку. Соединяем точки А и О отрезком, затем от точки О откладываем отрезок ОА1=ОА. Таким образом, О — середина отрезка АА1. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О.

Рисунок — Точки А и А1, симметричные относительно точки О.

Попробуйте сформулировать определение симметричных точек относительно точки. Теперь прочитаем определение в учебнике. (Стр. 111). Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм.

Рисунок — Примеры фигур, обладающие центральной симметрией

Для начала вспомним с вами из курса основной школы такие понятия, как:

• Осевая симметрия вокруг нас
• Фигуры, обладающие осевой симметрией.

— Геометрические фигуры, симметричные относительно оси: (угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб, равносторонний треугольник, квадрат, окружность).

Рисунок — Фигуры, обладающие осевой симметрией

Мир зеркальной симметрии. Симметрия в природе и на практике.

Отражение в воде — хороший пример зеркальной симметрии в природе. Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль зеркала, и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии. Примерами зеркальных отражений одна другой могут служить рука человека. Эффект зеркальной симметрии часто используют на практике. Так, в обувных магазинах на витрину иногда ставят только одну туфлю. Туфля отражается в зеркале, и зрительно нам кажется, будто мы видим пару туфель.

Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, — всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.

Рисунок — Примеры зеркальных отражений

В окружающем нас мире много фигур (объектов), имеющих плоскость симметрии. Плоскости симметрии имеют многие инструменты (рубанки, молотки, лопаты). Симметричны относительно плоскости трубы, подшипники, автомобили.

а) Архитектурные произведения отражают исключительные свойства симметрии. Большинство зданий зеркально симметричны;

б) Узоры на коврах тоже симметричны;

в) Симметрия широко встречается в прикладном искусстве. Орнаменты, карнизы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор; в быту.

Рисунок — Симметричные орнаменты

Симметрия в природе

Вопрос: Назовите фигуры или предметы, симметричные относительно плоскости у нас в кабинете.

2.2. Закрепление новых знаний.

1) Какие из букв русского алфавита имеют центр симметрии, ось симметрии:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Ъ Э Ю Я?

2) Найдите центр симметрии фигуры?

Рисунок — Восьмиугольник

3) Практическая работа № 1 по вариантам (Приложение № 1)

4) Практическая работа №2 по вариантам (Приложение № 2)

3. Рефлексивно-оценочный этап

3.1. Подведение итогов урока.

1. Что мы с вами проходили на этом уроке?

2. Что является движением движения? Дайте определение параллельного
переноса?

3. Достигли ли мы запланированной цели урока?

3.2. Информация о выполнении домашнего задания.

1. Прочитать параграф 48 стр.110. Выполнить задачи № 419, № 420.
2. Подготовить доклад + презентацию о различных проявлениях симметрии (работа в парах). Тема работы: «Симметрия в природе».

3.3. Рефлексия учебной деятельности.

Продолжите высказывания на уроке:

• Самым интересным для меня на уроке было…
• Я научилась (научился)…
• У меня вызвало затруднение…
• Я не понял(а)…

3.4. Оценка содержательного аспекта деятельности учащихся на уроке (поощрение детей, выставление отметок за урок, их комментирование,
замечания учащимся).

определение, свойства, обозначение, фигуры обладающие симметрией

Содержание:

• Что такое осевая симметрия в геометрии 
• Свойства осевой симметрии
• Теорема и доказательство
• Фигуры, обладающие симметрией
• Симметрия в повседневной жизни

Содержание

• Что такое осевая симметрия в геометрии 
• Свойства осевой симметрии
• Теорема и доказательство
• Фигуры, обладающие симметрией
• Симметрия в повседневной жизни

Что такое осевая симметрия в геометрии 

Симметрия – это свойство геометрических фигур отражаться. Симметрия относительно точки называется центральной. Осевая симметрия – это симметрия относительно прямой.

Если точка A и точка B симметричны относительно прямой n, то прямая называется осью симметрии n и проходит через середину отрезка AB. Обозначение осевой симметрии – S_n, таким образом симметрия точек A и B обозначается так:

S_n (А) = В.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Другое название осевой симметрии – вращательная – применяется в естественных науках. Данное понятие означает отражение предметов касательно поворотов вокруг прямой.

Свойства осевой симметрии

1. Осевая симметрия переводит прямую в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость в плоскость.
2. Неподвижными являются: ось симметрии и все точки на ней, все прямые и плоскости, перпендикулярные оси симметрии.
3. Обратное преобразование осевой симметрии есть та же осевая симметрия.
4. Осевая симметрия – это поворот относительно оси симметрии на 180°.

Теорема и доказательство

Теорема

Осевая симметрия – это движение, то есть при преобразовании осевой симметрии расстояние между точками сохраняется. 

Если отрезок MN симметричен отрезку M₁N₁  относительно прямой a, то MN = M₁N₁. 

Чтобы доказать, что MN = M₁N₁, сделаем дополнительные построения:

• P – это точка пересечения MM₁ и прямой a;
• Q – это точка пересечения NN₁ и прямой a; 
• построим отрезок MK, перпендикулярный NN₁;
• тогда точка K отразится в точку K₁.

Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M₁N₁K₁ равны.  Стороны MN и M₁N₁ являются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.

МК = М₁К₁ , так как перпендикулярны к параллельным прямым.

По построению:

NK = NQ – KQ,

N₁K₁ = N₁Q – K₁Q. 

Точка N отобразилась в точку N₁,  значит:

NK = N₁K₁.

Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть  MN = M₁N₁, что и требовалось доказать.

Фигуры, обладающие симметрией

Осевой симметрией обладает угол, а биссектриса является осью симметрии.

Пример №1

Из произвольной точки одной стороны угла опустим перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до другой стороны угла:

Рассмотрим Δ KAO и Δ MAO:

• AO – общая сторона
• Из свойства биссектрисы: ∠ MAO = ∠KAO
• Треугольники KAO и MAO прямоугольные,

Отсюда следует, что KO = OM, поэтому точки K и M симметричны касательно биссектрисы угла.

Следовательно, равнобедренный треугольник тоже симметричен относительно биссектрисы, проведенной к основанию.

Пример №2

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии – биссектрисы, медианы, высоты каждого угла:

Пример №3

У прямоугольника две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.

Пример №4

Ромб обладает двумя осями симметрии – это прямые, содержащие его диагонали.

Пример №5

Квадрат имеет 4 оси симметрии, так как он одновременно и ромб, и прямоугольник.

Пример №6

У окружности бесконечное множество осей симметрии – это все прямые, проведенные через центр круга.

Симметрия в повседневной жизни

Симметрия стала частью жизни человека уже в древние времена. Орнаменты с признаками зеркального отражения встречаются на античных зданиях, древнегреческих вазах. Свойство пропорционального расположения заимствовано в науку из природы. 

Зеркальное отражение часто встречается в живой и неживой природе. Этой характеристикой обладают снежинки. В растительном мире одинаково расположены противоположные элементы растений: большинство листьев зеркально отражаются сравнительно среднего стебля. В животном мире законы симметрии проявляются в наличии у животных правой и левой сторон. Большинство представителей фауны обладает парными частями тела: уши, лапы, глаза, крылья, рога. Ярким образцом зеркальной симметрии считается бабочка. Прямая, условно проведенная вдоль туловища насекомого по центру, является осью симметрии.

Поскольку человек – это часть природы, в своем творчестве он использует принцип симметрии. В искусстве свойство отражения применяется для создания красоты и гармонии. В архитектуре пропорциональность выполняет практическую функцию – придает зданиям устойчивость и надежность. В предметах быта можно встретить одинаковость в расположении частей узоров на коврах, принтов на ткани, рисунков обоев.

Стремление к созданию симметричного, предположительно, связано с притяжением Земли – гравитацией. Человек интуитивно считает симметрию формулой устойчивости. Принцип зеркального отражения играет важную роль в человеческой жизни. Тяга к гармонии и красоте побуждает человечество придерживаться правил пропорциональности.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.15 (Голосов: 20)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Симметрия: определение, типы, упражнения и примеры

Сегодня вы узнаете, что такое симметрия, и мы увидим некоторые упражнения на симметрию, которые дети выполняют во время занятий Smartick, и типичные ошибки, которые обычно допускают.

Что такое симметрия?

Симметрия — это одно из математических понятий, которое учащиеся начинают изучать вне школы. Тем не менее, они все еще изучают его в дошкольном образовании и строят симметричные фигуры, не используя строгого определения.

Как мы увидим ниже, существуют различные типы симметрии. Мы собираемся начать с наиболее известной симметрии относительно прямой или осевой симметрии . Давайте начнем с рисования прямой линии на плоскости, в данном случае это может быть лист бумаги с сеткой, как показано на рисунке ниже:

Линия нарисована вертикально, но она может быть горизонтальной или иметь любое другое направление.

Мы говорим, что фигура симметрична относительно прямой, если каждая точка на одной стороне этой прямой имеет другую точку на другой стороне и на том же расстоянии от этой прямой.

Если мы хотим узнать, симметрично ли изображение относительно линии и есть ли оно на листе бумаги, нам просто нужно согнуть лист вдоль линии. Если при сгибании листа фигуры совпадают друг с другом, то это потому, что они симметричны относительно линии. Если они не совпадают, то они несимметричны.

Если мы хотим создать симметричное изображение на бумаге, мы начинаем с складывания бумаги и, используя маркер, который будет слегка просвечивать бумагу, рисуем желаемую фигуру. Затем разворачиваем бумагу. Маркер перетек на другую сторону и создал две фигуры, симметричные относительно линии, которую мы сложили. Когда лист сложен, они точно совпадают. Мы также могли бы использовать ножницы вместо маркера.

Видео: Симметричные фигуры и оси симметрии

Чтобы лучше понять, что такое симметрия с относительно оси , посмотрите это видео одного из наших интерактивных руководств. Он больше не интерактивный, но у вас есть преимущество в том, что вы можете смотреть его столько раз, сколько необходимо, и делиться им с другими. Если вы хотите получить доступ к реальным интерактивным урокам, зарегистрируйтесь в Smartick, онлайн-методе обучения математике для детей в возрасте от 4 до 14 лет.

В этом видео мы представляем мастер-класс по симметрии, посмотрите:

Что такое ось симметрии?

Симметричная фигура может иметь одну или несколько осей симметрии, которые могут быть прямыми линиями или линиями, делящими фигуру на две симметричные части.

На изображении, взятом из видео, у звезды четыре оси симметрии, а у рук только одна – вертикальная прямая.

Типы симметрии

Существует много типов симметрии, но мы сосредоточимся на этих трех, которые можно увидеть в школе:

• Во-первых, осевая симметрия, или симметрия относительно линии, — это та, которая делит объект или фигуру пополам с помощью прямой линии , другими словами, по оси симметрии. Этот тип симметрии может напоминать ситуацию, когда мы смотрим в зеркало и видим в нем свое отражение.
• Мы говорим, что одна или несколько фигур имеют вращательную симметрию , когда они не изменяются при повороте на определенный угол. Четырехконечная звезда на предыдущем изображении обладает вращательной симметрией, потому что если вы повернете ее на 90º (или любой кратный 90º) будет то же самое.
• Третий тип симметрии, встречающийся на плоскости, — это симметрия относительно точки или центральная симметрия . Две точки симметричны относительно точки, которую мы называем центром симметрии, если они находятся на одинаковом расстоянии от нее и на одной линии. Центральная симметрия производит тот же эффект, что и поворот на 180º.

Два пятиугольника симметричны относительно зеленой точки, которая является центром симметрии.

Упражнения на симметрию в Smartick

В посте о новом контенте Smartick мы привели примеры последовательности действий на симметрию. Сложность зависит от формы фигур и ориентации оси симметрии. Сложность постепенно увеличивается, мало-помалу, облегчая изучение и понимание этой концепции. Эти упражнения способствуют развитию пространственного зрения и геометрического мышления.

• У нас есть упражнения, в которых дети должны проанализировать, симметричны ли две фигуры: 
• В других они должны построить симметричные фигуры:

• Или расположите ряд точек симметрично на наклонной оси:

Типичные ошибки

Эти две фигуры симметричны относительно оси? Студенты часто допускают две ошибки, когда сталкиваются с этим вопросом.

• Подумайте, одинаковы ли фигуры, если они симметричны:

Точки, образующие фигуру сверху и снизу, находятся на разном расстоянии от линии (см., например, верхнюю вершину), поэтому они несимметричны.

Чтобы исправить эту ошибку (как мы упоминали ранее), полезно думать о сетке как о бумаге, которую можно согнуть по оси симметрии. Если в сложенном виде фигуры не совпадают, то это потому, что они несимметричны. Другой способ — думать об оси как о зеркале, если одна фигура не является отражением фигуры, которая будет проецироваться в зеркало, то они не симметричны.

• Другая распространенная ошибка — думать, что если одна фигура является зеркальным отражением другой, то они симметричны независимо от их положения относительно оси симметрии:

Мы можем использовать те же стратегии, что и раньше, чтобы устранить эту ошибку. Если мы согнем бумагу по оси симметрии, то фигуры не совпадут. И одна фигура не является отражением другой в осевом зеркале. Следовательно, эти две фигуры несимметричны относительно оси.

Симметрия вне математики

Симметрия вокруг нас:

• В зеркале или отражении на поверхности воды. Отраженное изображение симметрично реальному изображению.
• В нас самих: у нас есть правая рука и левая рука, правое ухо и левое ухо, и каждая пара симметрична. Наше тело разделено на две симметричные части, правую и левую, относительно оси, проходящей от макушки головы до пальцев ног.
• Фасады большинства домов и зданий симметричны относительно вертикальной оси.
• Автомобили, тостеры, сотовые телефоны, стакан, тарелка, бутылка, телевизор, диван. .. большинство повседневных предметов имеют одну или несколько осей симметрии.
• Мы также можем найти симметрию в искусстве. Художники используют симметрию в живописи, скульптуре, музыке и многих других дисциплинах.
• В природе тоже. Большинство животных и растений имеют тот или иной тип симметрии: двустороннюю, радиальную…

Если вы хотите больше узнать о геометрии и математике в начальной школе, зарегистрируйтесь в Smartick и попробуйте бесплатно.

Подробнее:

• Автор
• Последние сообщения

Smartick

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)

геометрия — Как выполнить осевую симметрию по любой линии на декартовой плоскости?

спросил 4 года, 5 месяцев назад

Изменено 4 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 431 раз

$\begingroup$

Если у нас есть точка $P(x,y)$. Я знаю, что осевая симметрия относительно оси ординат приведет к гомологичной точке $(-x, y)$. Кроме того, осевая симметрия относительно оси абсикаса приведет к гомологичной точке $(x, -y)$

Проблема в том, что я не знаю, как это сделать, когда это прямая линия, без приходится рисовать.

В частности, у меня есть упражнение, в котором я должен выполнить осевую симметрию в точке $K$ с координатами $(3, -1)$ относительно прямой $L$, которая делит пополам $1st$ и $3rd$ квадранты.

Когда эта линия делится пополам, это означает, что эта линия имеет угол $45 °$ по отношению к горизонтали.

Отсюда я не знаю, как продолжить, я был бы признателен за общую помощь для этого типа упражнений, заранее спасибо.

• геометрия

$\endgroup$

4

$\begingroup$

ПОДСКАЗКА

Рассмотрим преобразование для $(1,0)$ и $(0,1)$, затем заметим, что

$$(3,-1)=3\cdot (1,0)- 1\cdot (0,1)$$

и использовать линейность, то есть

$$T(a\vec v+b\vec w)=aT(\vec v)+bT(\vec w)$$

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Общее решение:

Пусть $l: y=ax+b$ — произвольная линия на декартовой плоскости, и точка $P(x,y)$ существует.