Как нарисовать шестиугольную пирамиду: Усечённая шестиугольная пирамида — геометрическое тело

---

27.09.2021 Разное

---

Как рисовать шестиугольную пирамиду

Знание — сила. Познавательная информация

Рисунок правильной пирамиды

Чертеж — первый и очень важный шаг в решении геометрической задачи. Каким должен быть рисунок правильной пирамиды?

Сначала вспомним свойства параллельного проектирования:

— параллельные отрезки фигуры изображаются параллельными отрезками;

— сохраняется отношение длин отрезков параллельных прямых и отрезков одной прямой.

Рисунок правильной треугольной пирамиды

Сначала изображаем основание. Поскольку при параллельном проектировании углы и отношения длин не параллельных отрезков не сохраняются, правильный треугольник в основании пирамиды изображается произвольным треугольником.

Центр правильного треугольника — точка пересечения медиан треугольника. Поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, мысленно соединяем вершину основания с серединой противолежащей стороны, приблизительно делим ее на три части, и на расстоянии 2 частей от вершины ставим точку.

Из этой точки вверх проводим перпендикуляр. Это — высота пирамиды. Перпендикуляр рисуем такой длины, чтобы боковое ребро не закрывало изображение высоты.

Рисунок правильной четырехугольной пирамиды

Рисунок правильной четырехугольной пирамиды также начинаем с основания. Поскольку параллельность отрезков сохраняется, а величины углов — нет, то квадрат в основании изображается параллелограммом. Желательно острый угол этого параллелограмма делать поменьше, тогда боковые грани получаются больше. Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Проводим диагонали, из точки пересечения восстанавливаем перпендикуляр. Этот перпендикуляр — высота пирамиды. Выбираем длину перпендикуляра таким образом, чтобы боковые ребра не сливались между собой.

Рисунок правильной шестиугольной пирамиды

Поскольку при параллельном проектировании параллельность отрезков сохраняется, основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник — изображаем шестиугольником, у которого противолежащие стороны параллельны и равны. Центр правильного шестиугольника — точка пересечения его диагоналей. Чтобы не загромождать рисунок, диагонали не проводим, а находим эту точку приблизительно. Из нее восстанавливаем перпендикуляр — высоту пирамиды — так, чтобы боковые ребра не сливались между собой.

Последовательность рисования пирамиды

Первый этап. Определяется величина пирамиды и ее пространственное положение, основные пропорции пирамиды, степень разворота ее граней.

Второй этап. Осуществляется анализ строения пирамиды. Его рекомендуется начать с основания пирамиды – квадрата. В данном положении этот квадрат рисуется в перспективе. Затем определяется место вершины пирамиды. Из центра основания пирамиды, который находится на пересечении диагоналей, проводится вертикаль. Из вершины проводятся прямые до углов основания пирамиды. Эти прямые образуют грани пирамиды. На этом этапе работы можно легко проштриховать теневую сторону пирамиды.

Третий этап. Тоновая моделировка формы с выявлением объема. Самая светлая у пирамиды передняя грань, боковая находится в тени, справа расположена падающая тень.

Похожие главы из других книг

III Храм ступенчатой пирамиды

III Храм ступенчатой пирамиды Сбоку от ступенчатой пирамиды находятся храмы, которые являются древнейшими известными постройками в Египте; они датируются III династией и воздвигнуты фараоном Джосером, строителем ступенчатой пирамиды. Они имеют чрезвычайно важное

Последовательность рисования цилиндра

Последовательность рисования цилиндра Первый этап. Определение размеров цилиндра, основных пропорций (высоты и ширины). Нахождение его расположения на листе. Построение осевых линий. Для этого определяется положение вертикальной оси цилиндра. Перпендикулярно к ней

Последовательность рисования куба

Последовательность рисования куба Первый этап. Определение размера куба, его основных пропорций, перспективного положения. Второй этап. Определение при помощи направляющих перспективных линий точного пространственного положения всех сторон куба. Прорисовка

Последовательность рисования шестигранной призмы

Последовательность рисования шестигранной призмы Первый этап. Определяется размер шестигранника, его основные пропорции, перспективное положение. Второй этап. Осуществляется подробный анализ конструктивного построения. Его рекомендуется начать с передней стенки

Последовательность рисования шара

Последовательность рисования шара Первый этап. Определение размера шара, точки опоры и плоскости, на которой он находится. Второй этап. Уточнение диаметра окружности шара, определение границ света, полутонов и собственной тени, рефлекса и падающей тени. Третий этап.

Глава 10 Как строились пирамиды

Глава 10 Как строились пирамиды Ученые давно уже спорят о том, каким образом сооружались пирамиды. Это относится не только к технологии обтесывания и укладки блоков, но и к тому, в каком порядке создавались разные части этих сооружений. Ведь пирамида – это не просто

Популярное

Обработка металла это очень сложный технологический процесс. Но существуют мастера, кто умеет вытачивать многогранники из металла внутри другого.

В микро-мире многогранники встречаются в виде молекул, вирусов и бактерий — простейших организмов. Например: фуллерены – шарообразные молекулы углерода С60 (рис.) — «кирпичики».

С приходом весны, все растения вокруг оживают, появляется листва, всё зеленеет, и распускаются цветы. Но для домашних растений лето продолжается круглый год, конечно при.

Мы приоткрываем завесу таинства – как производится наша продукция. И сделаем это на примере.

По мнению некоторых духовных учений уже привычный для нас многогранник — соединение двух тетраэдров или

Звезда — это образ божественной идеи, божественной воли, согласно которой возник и начал вращаться в Пространстве и жить наш Свет, Мир.

Представьте себе историческое здание, архитектурный ансамбль, который украшают звёздчатые многогранники. И не просто здание, а целый дворец! Возможно ли такое?

схемы на клетчатой бумаге, шаблоны макетов, объемные пирамиды

Детская фантазия придумывает многое. Вот уже и до пирамид добрались. А что? Такие поделки необходимы для простого приятного время препровождения, а также для воплощения сценки, сказки и самостоятельно придуманного рассказа. Как сделать пирамиду из бумаги, подробно малышам объяснят родители, основываясь на примерах и готовых трафаретах.

Особенности геометрических фигур

Представленная поделка считается универсальной. Во-первых, ее можно использовать в различных случаях. Во-вторых, можно найти схему, следовать которой будут и маленькие дошколята, и школьники.

Где пригодятся макеты на данную тематику

Область применения представленных фигур обширна. Здесь выделяют следующие моменты:

• Воспитатели и учителя используют технику изготовления пирамиды из бумаги для занятий с целью улучшения мелкой моторики у детей.
• Пирамиды становятся украшением в интерьере.
• Представляются дополнительным элементом в обустройстве макета для создания сказок.
• Используются в качестве упаковочной коробки.

Объемная поделка используется и для хранения мелких предметов: украшения, пуговиц и прочего. Основным условием здесь выступает изготовление плотной конструкции с небольшим отверстием в верхней части.

Дети и взрослые находят самое неожиданное применение пирамидам. Некоторые хозяйки хранят в самостоятельно сделанных конусах специи и другие сыпучие продукты. Дети используют в качестве основы для изготовления поделок животных.

Как сделать

В вопросах, как сделать пирамиду из бумаги, необходимо определиться, зачем нужна поделка, какова цель ее изготовления. Как правило, требуется бумажная форма только для занятий с детьми и незначительного украшения интерьера. Поэтому приступают к работе, определившись с моделью.

Для геометрических фигур лучше пользоваться миллиметрами, а для более точной конструкции – долями миллиметров. В большинстве случаев достаточно одного листа картона или плотной бумаги формата А4. В случае их отсутствия, можно подобрать из присутствующих под рукой картонных листов (коробки из под чего либо либо и т.п.), а затем обклеить фигуру, или разукрасить по своему усмотрению.

Необходимые инструменты и материалы

Работа с ребенком должна быть беспрерывной, поэтому требуется заранее собрать все инструменты и подготовить материалы для изготовления поделки. В список необходимого входят:

• цветная бумага или офисная формата А4 или меньше;
• альбомный лист или картон – бумага для работы зависит от выбранной модели;
• ножницы;
• клей-карандаш или ПВА;
• карандаш, ластик, линейка и прочие инструменты в зависимости от модели.

Рекомендуется сразу заготовить шаблон, в особенности, если его приходится распечатывать. Не рекомендуется оставлять ребенка без работы, поскольку он быстро потеряет интерес.

Поэтапная сборка объемной модели

Чтобы сделать поделку своими руками, необходимо разобраться в последовательности действий. В данном случае процесс представляется следующим образом:

1. Требуется выбрать модель для последующего изготовления.
2. Собрать нужный для работы материал. Конкретно для этой модели потребуется бумага, ножницы, карандаш для рисования и линейка, клей ПВА или карандаш.
3. Начертить квадрат и разделить его на 9 равносторонних квадратов.
4. Начертить стороны. Прибавить к ним зазоры для склеивания.
5. Вырезать развертку пирамиды, согнуть стороны у основания – поднять треугольники вверх.
6. Завернуть припуски и проклеить их клеем. Соединить все части, чтобы сформировать фигуру.

Аналогичным образом изготавливают другие модели. Необходимо учитывать все особенности выбранной поделки.

Нельзя доверять детям самостоятельную работу с ножницами, если они плохо держат их в руках. Вырезать развертку требуется вместе с родителями. Если дошкольник слишком мал, лучше вырезать заготовку самостоятельно.

Начертить на клетчатой бумаге

Какая бы ни была модель, макет пирамиды из бумаги своими руками лучше заготавливать с применением клетчатых листов. Если подразумевается изготовление поделки из картона, следует на простом листе бумаги в клетку нарисовать шаблон, вырезать и приложить к картону для обводки. Можно приклеить ее с изнаночной стороны и оставить для дальнейшей работы.

На клетчатой бумаге можно соблюдать симметрию, что требуется в изготовлении равносторонней фигуры. Для этого используется простая школьная тетрадь. Самостоятельно нарисовать на чистом листе, пусть и по линейке, развертку очень сложно. Ребенок с этим не справится вовсе. Лучше, когда в качестве основы будет разлинованный лист.

Если изготавливается объемная пирамида для украшения или иного важного назначения, рекомендуется воспользоваться специальной масштабной бумагой. Она точна, а разлиновка и вычисление параметров будет упрощена.

Четырехугольная

Традиционная пирамида четырехугольная. Ее изготовление представлено выше и подробно. Для упрощения всего процесса рекомендуется распечатать схему пирамиды.

В основе лежат только два шаблона. В первом случае поднимаются стороны вверх и приклеиваются между собой. Со вторым шаблоном требуется работать аккуратнее – здесь изнутри сгибают части по пунктирам и соединяют, предварительно проклеив клеем зазоры.

Египетская пирамида

Египетская пирамида собирается по аналогии с другими поделками. Единственным отличием в данном случае выступает только материал, используемый для работы. Здесь требуется подготовить бумагу с рисунком, имитирующим пирамиду Хеопса.

Чтобы сделать макет пирамиды из бумаги, необходимо подготовить шаблон и распечатать его. Можно сделать его самостоятельно. Для этого в отдельности начертить каждую сторону – треугольник и квадрат под ним. Получается, что треугольник – сторона пирамиды, а квадрат – дно поделки. Дополнительно от треугольников идут припуски для проклеивания.

Далее требуется вырезать все части, проклеить припуски и собрать фигуру. При необходимости дно делают из картона для лучшей устойчивости поделки.

Шестиугольная

Шестиугольная пирамида выполняется в соответствии с вышеуказанной последовательностью действий. В данном случае сложность заключается только в подборе подходящего шаблона. Все неприятности складываются вследствие невозможности определиться в размерах будущей пирамиды. Подобрать шаблон сложно. В качестве примера предлагаются несколько шаблонов.

В готовом виде получатся совершенно разные поделки. Первая – вытянутая, вторая – пологая.

Усеченная

Усеченная пирамида из бумаги используется в качестве небольшой шкатулки для хранения простых и негромоздких вещей. Она может быть различной формы – треугольная пирамида, четырехугольная, пятиугольная и с большим количеством граней, влияющих только на размеры готовой поделки.

Также важно обратить внимание на ширину основания (грани дна). Она формирует пологость готовой поделки. Чем больше ширина грани, тем крупнее предметы можно хранить.

В каждом предложенном шаблоне имеется верхняя грань. Ее клеют по необходимости – когда требуется сделать стандартную пирамиду, не предназначенную для хранения предметов. Модель пирамиды представляется на картинках.

Создание сеток шестиугольников / Хабр

Сетки из шестиугольников (гексагональные сетки) используются в некоторых играх, но они не так просты и распространены, как сетки прямоугольников. Я коллекционирую ресурсы о сетках шестиугольников уже почти 20 лет, и написал это руководство по самым элегантным подходам, реализуемым в простейшем коде. В статье часто используются руководства Чарльза Фу (Charles Fu) и Кларка Вербрюгге (Clark Verbrugge). Я опишу различные способы создания сеток шестиугольников, их взаимосвязь, а также самые общие алгоритмы. Многие части этой статьи интерактивны: выбор типа сетки изменяет соответствующие схемы, код и тексты.

(Прим. пер.: это относится только к оригиналу, советую его изучить. В переводе вся информация оригинала сохранена, но без интерактивности.).

Примеры кода в статье написаны псевдокодом, так их легче читать и понимать, чтобы написать свою реализацию.

Геометрия

Шестиугольники — это шестигранные многоугольники. У правильных шестиугольников все стороны (грани) имеют одинаковую длину. Мы будем работать только с правильными шестиугольниками. Обычно в сетках шестиугольников используются горизонтальная (с острым верхом) и вертикальная (с плоским верхом) ориентации.

Шестиугольники с плоским (слева) и острым (справа) верхом

У шестиугольников по 6 граней. Каждая грань общая для двух шестиугольников. У шестиугольников по 6 угловых точек. Каждая угловая точка общая для трёх шестиугольников. Подробнее о центрах, гранях и угловых точках можно прочитать в моей статье о частях сеток (квадратах, шестиугольниках и треугольниках).

Углы

В правильном шестиугольнике внутренние углы равны 120°. Есть шесть «клиньев», каждый из которых является равносторонним треугольником с внутренними углами 60°. Угловая точка i находится на расстоянии (60° * i) + 30°, на size единиц от центра center. В коде:

function hex_corner(center, size, i):
    var angle_deg = 60 * i   + 30
    var angle_rad = PI / 180 * angle_deg
    return Point(center.  x + size * cos(angle_rad), center.y + size * sin(angle_rad))

Для заполнения шестиугольника нужно получить вершины многоугольника с hex_corner(…, 0) по hex_corner(…, 5). Для отрисовки контура шестиугольника нужно использовать эти вершины, а затем нарисовать линию снова в hex_corner(…, 0).

Разница между двумя ориентациями в том, что x и y меняются местами, что приводит к изменению углов: углы шестиугольников с плоским верхом равны 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, а с острым верхом — 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°.

Углы шестиугольников с плоским и острым верхом

Размер и расположение

Теперь мы хотим расположить несколько шестиугольников вместе. В горизонтальной ориентации высота шестиугольника height = size * 2. Вертикальное расстояние между соседними шестиугольниками

vert = height * 3/4.

Ширина шестиугольника width = sqrt(3)/2 * height. Горизонтальное расстояние между соседними шестиугольниками horiz = width.

В некоторых играх для шестиугольников используется пиксель-арт, который не точно соответствует правильным шестиугольникам. Формулы углов и расположений, описанные в этом разделе, не будут совпадать с размерами таких шестиугольников. Остальная часть статьи, описывающая алгоритмы сеток шестиугольников, применима даже если шестиугольники немного растянуты или сжаты.

Системы координат

Давайте приступим к сборке шестиугольников в сетку. В случае сеток квадратов существует только один очевидный способ сборки. Для шестиугольников же есть множество подходов. Я рекомендую использовать в качестве первичного представления кубические координаты. Осевые координаты или координаты смещений следует использовать для хранения карт и отображения координат для пользователя.

Координаты смещений

Наиболее частый подход — смещение каждого последующего столбца или строки. Столбцы обозначаются col или q. Строки обозначаются row или r. Можно смещать нечётные или чётные столбцы/строки, поэтому у горизонтальных и вертикальных шестиугольников есть по два варианта.

Горизонтальное расположение «нечет-r»

Горизонтальное расположение «чёт-r»

Вертикальное расположение «нечет-q»

Вертикальное расположение «чёт-q»

Кубические координаты

Ещё один способ рассмотрения сеток шестиугольников — видеть в них три основные оси, а не две, как в сетках квадратов. В них проявляется элегантная симметрия.

Возьмём сетку кубов и вырежем диагональную плоскость в x + y + z = 0. Это странная мысль, но она поможет нам упростить алгоритмы сеток шестиугольников. В частности, мы сможем воспользоваться стандартными операциями из декартовых координат: суммированием и вычитанием координат, умножением и делением на скалярную величину, а также расстояниями.

Заметьте три основные оси на сетке кубов и их соотношение с шестью диагональными направлениями сетки шестиугольников. Диагональные оси сетки соответствуют основному направлению сетки шестиугольников.

Шестиугольники
Кубы

Поскольку у нас уже есть алгоритмы для сеток квадратов и кубов, использование кубических координат позволяет нам адаптировать эти алгоритмы под сетки шестиугольников. я буду использовать эту систему для большинства алгоритмов статьи. Для использования алгоритмов с другой системой координат я преобразую кубические координаты, выполню алгоритм, а затем преобразую их обратно.

Изучите, как кубические координаты работают для сетки шестиугольников. При выборе шестиугольников выделяются кубические координаты, соответствующие трём осям.

1. Каждое направление сетки кубов соответствует линии на сетке шестиугольников. Попробуйте выделить шестиугольник с z, равным 0, 1, 2, 3, чтобы увидеть связь. Строка отмечена синим. Попробуйте то же самое для x (зелёный) и y (сиреневый).
2. Каждое направление сетки шестиугольника — это сочетание двух направлений сетки кубов. Например, «север» сетки шестиугольников лежит между +y и -z, поэтому каждый шаг на «север» увеличивает y на 1 и уменьшает z на 1.

Кубические координаты — разумный выбор для системы координат сетки шестиугольников. Условием является x + y + z = 0, поэтому в алгоритмах оно должно сохраняться. Условие также гарантирует, что для каждого шестиугольника всегда будет каноническая координата.

Существует множество различных систем координат для кубов и шестиугольников. В некоторых из них условие отличается от x + y + z = 0. Я показал только одну из множества систем. Можно также создать кубические координаты с x-y, y-z, z-x, у которых будет свой набор интересных свойств, но я не буду их здесь рассматривать.

Но вы можете возразить, что не хотите хранить 3 числа для координат, потому что не знаете, как хранить карту в таком виде.

Осевые координаты

Осевая система координат, иногда называемая «трапецеидальной», строится на основе двух или трёх координат из кубической системы координат. Поскольку у нас есть условие x + y + z = 0, третья координата не нужна. Осевые координаты полезны для хранения карт и отображения координат пользователю. Как и в случае с кубическими координатами, с ними можно использовать стандартные операции суммирования, вычитания, умножения и деления декартовых координат.

Существует множество кубических систем координат и множество осевых. В этом руководстве я не буду рассматривать все сочетания. Я выберу две переменные, q (столбец) и r (строка). В схемах этой статьи q соответствует x, а r соответствует z, но такое соответствие произвольно, потому что можно вращать и поворачивать схемы, получая различные соответствия.

Преимущество этой системы перед сетками смещений в большей понятности алгоритмов. Недостатком системы является то, что хранение прямоугольной карты выполняется немного странно; см. раздел о сохранении карт. Некоторые алгоритмы ещё понятнее в кубических координатах, но поскольку у нас есть условие x + y + z = 0, мы можем вычислить третью подразумеваемую координату и использовать её в этих алгоритмах. В своих проектах я называю оси q, r, s, поэтому условие выглядит как q + r + s = 0, и я, когда нужно, могу вычислить s = -q - r.

Оси

Координаты смещения — это первое, о чём думает большинство людей, потому что они совпадают со стандартными декартовыми координатами, используемыми для сеток квадратов. К сожалению, одна из двух осей должна проходить «против шерсти», и это в результате всё усложняет. Кубическая и осевая система идут «по шерсти» и у них более простые алгоритмы, но хранение карт немного более сложное. Существует ещё одна система, называемая «чередуемой» или «двойной», но здесь мы не будем её рассматривать; некоторые считают, что с ней проще работать, чем с кубической или осевой.
Координаты смещения, кубические и осевые

Ось — это направление, в котором соответствующая координата увеличивается. Перпендикуляр к оси — это линия, на которой координата остаётся постоянной. На схемах сеток выше показаны линии перпендикуляров.

Преобразование координат

Вероятно, что вы будете использовать в своём проекте осевые координаты или координаты смещения, но многие алгоритмы проще выражаются в кубических координатах. Поэтому нам нужно уметь преобразовывать координаты между системами.

Осевые координаты близко связаны с кубическими, поэтому преобразование делается просто:

# преобразование кубических в осевые координаты
q = x
r = z

# преобразование осевых в кубические координаты
x = q
z = r
y = -x-z

В коде эти две функции могут быть записаны следующим образом:

function cube_to_hex(h): # осевая
    var q = h.x
    var r = h.z
    return Hex(q, r)

function hex_to_cube(h): # кубическая
    var x = h.q
    var z = h.r
    var y = -x-z
    return Cube(x, y, z)

Координаты смещения совсем немного сложнее:

# преобразование кубических в смещение чёт-q
col = x
row = z + (x + (x&1)) / 2

# преобразование смещения чёт-q в кубические
x = col
z = row - (col + (col&1)) / 2
y = -x-z

# преобразование кубических в смещение нечет-q
col = x
row = z + (x - (x&1)) / 2

# преобразование смещения нечет-q в кубические
x = col
z = row - (col - (col&1)) / 2
y = -x-z

# преобразование кубических в смещение чёт-r
col = x + (z + (z&1)) / 2
row = z

# преобразование чёт-r в кубические
x = col - (row + (row&1)) / 2
z = row
y = -x-z

# преобразование кубических в нечет-r
col = x + (z - (z&1)) / 2
row = z

# преобразование нечет-r в кубические
x = col - (row - (row&1)) / 2
z = row
y = -x-z

Примечание о реализации: я использую a&1 (побитовое «И») вместо a%2 (деления с остатком) для определения, является ли число чётным (0) или нечётным (1). Подробное описание см. на странице примечаний к моей реализации.

Соседние шестиугольники

Дан один шестиугольник, с какими шестью шестиугольниками он находится рядом? Как и можно ожидать, легче всего дать ответ в кубических координатах, довольно просто в осевых координатах, и немного сложнее в координатах смещения. Также может потребоваться рассчитать шесть «диагональных» шестиугольников.

Кубические координаты

Перемещение на одно пространство в координатах шестиугольников приводит к изменению одной из трёх кубических координат на +1 и другой на -1 (сумма должна оставаться равной 0). На +1 могут изменяться три возможных координаты, а на -1 — оставшиеся две. Это даёт нам шесть возможных изменений. Каждое соответствует одному из направлений шестиугольника. Простейший и быстрейший способ — предварительно вычислить изменения и поместить их в таблицу кубических координат Cube(dx, dy, dz) во время компиляции:

var directions = [
   Cube(+1, -1,  0), Cube(+1,  0, -1), Cube( 0, +1, -1),
   Cube(-1, +1,  0), Cube(-1,  0, +1), Cube( 0, -1, +1)
]

function cube_direction(direction):
    return directions[direction]

function cube_neighbor(hex, direction):
    return cube_add(hex, cube_direction(direction))

Осевые координаты

Как и раньше, мы используем для начала кубическую систему. Возьмём таблицу Cube(dx, dy, dz) и преобразуем в таблицу Hex(dq, dr):

var directions = [
   Hex(+1,  0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
   Hex(-1,  0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1)
]

function hex_direction(direction):
    return directions[direction]

function hex_neighbor(hex, direction):
    var dir = hex_direction(direction)
    return Hex(hex.q + dir.q, hex.r + dir.r)

Координаты смещения

В осевых координатах мы вносим изменения в зависимости от того, в каком месте сетки находимся. Если мы в столбце/строке смещения, то правило отличается от случая столбца/строки без смещения.

Как и раньше, мы создаём таблицу чисел, которые нужно прибавить к col and row. Однако на этот раз у нас будет два массива, один для нечётных столбцов/строк, а другой — для чётных. Посмотрите на (1,1) на рисунке карты сетки выше и заметьте, как меняются col и row меняются при перемещении в каждом из шести направлений. Теперь повторим процесс для (2,2). Таблицы и код будут разными для каждого из четырёх типов сеток смещений, приводим соответствующий код для каждого типа сетки.

Нечет-r

var directions = [
   [ Hex(+1,  0), Hex( 0, -1), Hex(-1, -1),
     Hex(-1,  0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ],
   [ Hex(+1,  0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
     Hex(-1,  0), Hex( 0, +1), Hex(+1, +1) ]
]

function offset_neighbor(hex, direction):
    var parity = hex.row & 1
    var dir = directions[parity][direction]
    return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)

Сетка для чётной (EVEN) и нечётной (ODD) строк

Чёт-r

var directions = [
   [ Hex(+1,  0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
     Hex(-1,  0), Hex( 0, +1), Hex(+1, +1) ],
   [ Hex(+1,  0), Hex( 0, -1), Hex(-1, -1),
     Hex(-1,  0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ]
]

function offset_neighbor(hex, direction):
    var parity = hex.row & 1
    var dir = directions[parity][direction]
    return Hex(hex. col + dir.col, hex.row + dir.row)

Сетка для чётной (EVEN) и нечётной (ODD) строк

Нечет-q

var directions = [
   [ Hex(+1,  0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
     Hex(-1, -1), Hex(-1,  0), Hex( 0, +1) ],
   [ Hex(+1, +1), Hex(+1,  0), Hex( 0, -1),
     Hex(-1,  0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ]
]

function offset_neighbor(hex, direction):
    var parity = hex.col & 1
    var dir = directions[parity][direction]
    return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)

Сетка для чётного (EVEN) и нечётного (ODD) столбцов

Чёт-q

var directions = [
   [ Hex(+1, +1), Hex(+1,  0), Hex( 0, -1),
     Hex(-1,  0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ],
   [ Hex(+1,  0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
     Hex(-1, -1), Hex(-1,  0), Hex( 0, +1) ]
]

function offset_neighbor(hex, direction):
    var parity = hex.col & 1
    var dir = directions[parity][direction]
    return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir. row)

Сетка для чётного (EVEN) и нечётного (ODD) столбцов

Использование вышеуказанных таблиц подстановки — это простейший способ вычисления соседей. Если вам интересно, можно также почитать об извлечении этих чисел.

Диагонали

Перемещение в «диагональном» пространстве в координатах шестиугольников изменяет одну из трёх кубических координат на ±2 и две другие на ∓1 (сумма должна оставаться равной 0).

var diagonals = [
   Cube(+2, -1, -1), Cube(+1, +1, -2), Cube(-1, +2, -1), 
   Cube(-2, +1, +1), Cube(-1, -1, +2), Cube(+1, -2, +1)
]

function cube_diagonal_neighbor(hex, direction):
    return cube_add(hex, diagonals[direction])

Как и раньше, мы можем преобразовать эти координаты в осевые, откинув одну из трёх координат, или преобразовать в координаты смещения, предварительно вычислив результаты.

Расстояния

Кубические координаты

В кубической системе координат каждый шестиугольник является кубом в трёхмерном пространстве. Соседние шестиугольники находятся в сетке шестиугольников на расстоянии 1 друг от друга, но на расстоянии 2 в сетке кубов. Это делает расчёт расстояний простым. В сетке квадратов манхэттенские расстояния равны abs(dx) + abs(dy). В сетке кубов манхэттенские расстояния равны abs(dx) + abs(dy) + abs(dz). Расстояние в сетке шестиугольников равно их половине:

function cube_distance(a, b):
    return (abs(a.x - b.x) + abs(a.y - b.y) + abs(a.z - b.z)) / 2

Эквивалентом этой записи будет выражение того, что одна из трёх координат должна быть суммой двух других, а затем получение её в качестве расстояния. Можно выбрать форму деления пополам или форму максимального значения, приведённую ниже, но они дают одинаковый результат:

function cube_distance(a, b):
    return max(abs(a.x - b.x), abs(a.y - b.y), abs(a.z - b.z))

На рисунке максимальные значения выделены цветом. Заметьте также, что каждый цвет обозначает одно из шести «диагональных» направлений. GIF

Осевые координаты

В осевой системе третья координата выражена неявно. Давайте преобразуем из осевой в кубическую систему для расчёта расстояния:

function hex_distance(a, b):
    var ac = hex_to_cube(a)
    var bc = hex_to_cube(b)
    return cube_distance(ac, bc)

Если компилятор в вашем случае встраивает (inline) hex_to_cube и cube_distance, то он сгенерирует такой код:

function hex_distance(a, b):
    return (abs(a.q - b.q) 
          + abs(a.q + a.r - b.q - b.r)
          + abs(a.r - b.r)) / 2

Существует множество различных способов записи расстояний между шестиугольниками в осевых координатах, но вне зависимости от способа записи расстояние между шестиугольниками в осевой системе извлекается из манхэттенского расстояния в кубической системе. Например, описанная здесь «разность разностей» получается из записи a.q + a.r - b.q - b.r как a.q - b.q + a. r - b.r и с использованием формы максимального значения вместо формы деления пополам cube_distance. Все они аналогичны, если увидеть связь с кубическими координатами.

Координаты смещения

Как и в случае с осевыми координатами, мы преобразуем координаты смещения в кубические координаты, а затем используем расстояние кубической системы.

function offset_distance(a, b):
    var ac = offset_to_cube(a)
    var bc = offset_to_cube(b)
    return cube_distance(ac, bc)

Мы будем использовать тот же шаблон для многих алгоритмов: преобразуем из шестиугольников в кубы, выполняем кубическую версию алгоритма и преобразуем кубические результаты в координаты шестиугольников (осевые или координаты смещения).

Отрисовка линий

Как нарисовать линию от одного шестиугольника до другого? Я использую линейную интерполяцию для рисования линий. Линия равномерно сэмплируется в N+1 точках и вычисляется, в каких шестиугольниках находятся эти сэмплы. GIF

1. Сначала мы вычисляем N, которое будет расстоянием в шестиугольниках между конечными точками.
2. Затем равномерно сэмплируем N+1 точек между точками A и B. С помощью линейной интерполяции определяем, что для значений i от 0 до N, включая их, каждая точка будет A + (B - A) * 1.0/N * i. На рисунке эти контрольные точки показаны синим. В результате получаются координаты с плавающей запятой.
3. Преобразуем каждую контрольную точку (float) обратно в шестиугольники (int). Алгоритм называется cube_round (см. ниже).

Соединяем всё вместе для отрисовки линии от A до B:

function lerp(a, b, t): // для float
    return a + (b - a) * t

function cube_lerp(a, b, t): // для шестиугольников
    return Cube(lerp(a.x, b.x, t), 
                lerp(a.y, b.y, t),
                lerp(a.z, b.z, t))

function cube_linedraw(a, b):
    var N = cube_distance(a, b)
    var results = []
    for each 0 ≤ i ≤ N:
        results. append(cube_round(cube_lerp(a, b, 1.0/N * i)))
    return results

Примечания:

• Бывают случаи, когда cube_lerp возвращает точку, находящуюся точно на грани между двумя шестиугольниками. Затем cube_round сдвигает её в ту или иную сторону. Линии выглядят лучше, если их сдвигают в одном направлении. Это можно сделать, добавив «эпсилон»-шестиугольный Cube(1e-6, 1e-6, -2e-6) к одной или обеим конечным точкам перед началом цикла. Это «подтолкнёт» линию в одном направлении, чтобы она не попадала на границы граней.
• Алгоритм DDA-линии в сетках квадратов приравнивает N к максимуму расстояния по каждой из осей. Мы делаем то же самое в кубическом пространстве, что аналогично расстоянию в сетке шестиугольников.
• Функция cube_lerp должна возвращать куб с координатами в float. Если вы программируете на языке со статической типизацией, то не сможете использовать тип Cube. Вместо него можно определить тип FloatCube или встроить (inline) функцию в код отрисовки линий, если вы не хотите определять ещё один тип.
• Можно оптимизировать код, встроив (inline) cube_lerp, а затем рассчитав B.x-A.x, B.x-A.y и 1.0/N за пределами цикла. Умножение можно преобразовать в повторяющееся суммирование. В результате получится что-то вроде алгоритма DDA-линии.
• Для отрисовки линий я использую осевые или кубические координаты, но если вы хотите работать с координатами смещения, то изучите эту статью.
• Существует много вариантов отрисовки линий. Иногда требуется «сверхпокрытие». Мне прислали код отрисовки линий с сверхпокрытием в шестиугольниках, но я пока не изучал его.

Диапазон перемещения

Диапазон координат

Для заданного центра шестиугольника и диапазона N какие шестиугольники находятся в пределах N шагов от него?

Мы можем произвести обратную работу из формулы расстояния между шестиугольниками distance = max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)). Чтобы найти все шестиугольники в пределах N, нам нужны max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)) ≤ N. Это значит, что нужны все три значения: abs(dx) ≤ N и abs(dy) ≤ N и abs(dz) ≤ N. Убрав абсолютное значение, мы получим -N ≤ dx ≤ N и -N ≤ dy ≤ N и -N ≤ dz ≤ N. В коде это будет вложенный цикл:

var results = []
for each -N ≤ dx ≤ N:
    for each -N ≤ dy ≤ N:
        for each -N ≤ dz ≤ N:
            if dx + dy + dz = 0:
                results.append(cube_add(center, Cube(dx, dy, dz)))

Этот цикл сработает, но будет довольно неэффективным. Из всех значений dz, которые мы перебираем в цикле, только одно действительно удовлетворяет условию кубов dx + dy + dz = 0. Вместо этого мы напрямую вычислим значение dz, удовлетворяющее условию:

var results = []
for each -N ≤ dx ≤ N:
    for each max(-N, -dx-N) ≤ dy ≤ min(N, -dx+N):
        var dz = -dx-dy
        results. append(cube_add(center, Cube(dx, dy, dz)))

Этот цикл проходит только по нужным координатам. На рисунке каждый диапазон является парой линий. Каждая линия — это неравенство. Мы берём все шестиугольники, удовлетворяющие шести неравенствам.GIF

Пересекающиеся диапазоны

Если нужно найти шестиугольники, находящиеся в нескольких диапазонах, то перед генерированием списка шестиугольников можно пересечь диапазоны.

Можно подойти к этой проблеме с точки зрения алгебры или геометрии. Алгебраически каждая область выражается как условия неравенств в форме -N ≤ dx ≤ N, и нам нужно найти пересечение этих условий. Геометрически каждая область является кубом в трёхмерном пространстве, и мы пересечём два куба в трёхмерном пространстве для получения прямоугольного параллелепипеда в трёхмерном пространстве. Затем мы проецируем его обратно на плоскость x + y + z = 0, чтобы получить шестиугольники. Я буду решать эту задачу алгебраически.

Во-первых, мы перепишем условие -N ≤ dx ≤ N в более общей форме xmin ≤ x ≤ xmax, и примем xmin = center.x - N и xmax = center.x + N. Сделаем то же самое для y и z, в результате получив общий вид кода из предыдущего раздела:

var results = []
for each xmin ≤ x ≤ xmax:
    for each max(ymin, -x-zmax) ≤ y ≤ min(ymax, -x-zmin):
        var z = -x-y
        results.append(Cube(x, y, z))

Пересечением двух диапазонов a ≤ x ≤ b и c ≤ x ≤ d является max(a, c) ≤ x ≤ min(b, d). Поскольку область шестиугольников выражена как диапазоны над x, y, z, мы можем отдельно пересечь каждый из диапазонов x, y, z, а затем использовать вложенный цикл для генерирования списка шестиугольников в пересечении. Для одной области шестиугольников мы принимаем xmin = H. x - N and xmax = H.x + N, аналогично для y и z. Для пересечения двух областей шестиугольников мы принимаем xmin = max(h2.x - N, h3.x - N) и xmax = min(h2.x + N, h3.x + N), аналогично для y и z. Тот же шаблон работает для пересечения трёх или более областей.GIF

Препятствия

При наличии препятствий проще всего выполнить заливку с ограничением по расстоянию (поиск в ширину). На рисунке ниже мы ограничиваемся четырьмя ходами. В коде fringes[k] — это массив всех шестиугольников, которых можно достичь за k шагов. При каждом проходе по основному циклу мы расширяем уровень k-1 на уровень k.

function cube_reachable(start, movement):
    var visited = set()
    add start to visited
    var fringes = []
    fringes.append([start])

    for each 1 < k ≤ movement:
        fringes.append([])
        for each cube in fringes[k-1]:
            for each 0 ≤ dir < 6:
                var neighbor = cube_neighbor(cube, dir)
                if neighbor not in visited, not blocked:
                    add neighbor to visited
                    fringes[k]. append(neighbor)

    return visited

Повороты

Для заданного вектора шестиугольника (разницу между двумя шестиугольниками) нам может понадобиться повернуть его, чтобы он указывал на другой шестиугольник. Это просто сделать, имея кубические координаты, если придерживаться поворота на 1/6 окружности.

Поворот на 60° вправо сдвигает каждую координату на одну позицию вправо:

        [ x,  y,  z]
to  [-z, -x, -y]

Поворот на 60° влево сдвигает каждую координату на одну позицию влево:

      [ x,  y,  z]
to        [-y, -z, -x]

«Поиграв» [в оригинале статьи] со схемой, можно заметить, что каждый поворот на 60° меняет знаки и физически «поворачивает» координаты. После поворота на 120° знаки снова становятся теми же. Поворот на 180° меняет знаки, но координаты поворачиваются в своё изначальное положение.

Вот полная последовательность поворота положения P вокруг центрального положения C, приводящего к новому положению R:

1. Преобразование положений P и C в кубические координаты.
2. Вычисление вектора вычитанием центра: P_from_C = P - C = Cube(P.x - C.x, P.y - C.y, P.z - C.z).
3. Поворот вектора P_from_C как описано выше и присваивание итоговому вектору обозначения R_from_C.
4. Преобразование вектора обратно в положение прибавлением центра: R = R_from_C + C = Cube(R_from_C.x + C.x, R_from_C.y + C.y, R_from_C.z + C.z).
5. Преобразование кубического положения R обратно в нужную систему координат.

Здесь несколько этапов преобразований, но каждый из них довольно прост. Можно сократить некоторые из этих этапов, определив поворот непосредственно в осевых координатах, но векторы шестиугольников не работают с координатами смещения, и я не знаю, как сократить этапы для координат смещения. См. также обсуждение других способов вычисления поворота на stackexchange.

Кольца

Простое кольцо

Чтобы выяснить, принадлежит ли заданный шестиугольник к кольцу заданного радиуса radius, нужно вычислить расстояние от этого шестиугольника до центра, и узнать, равно ли оно radius. Для получения списка всех таких шестиугольников нужно сделать radius шагов от центра, а затем следовать за поворачиваемыми векторами по пути вдоль кольца.

function cube_ring(center, radius):
    var results = []
    # этот код не работает для radius == 0; вы понимаете, почему?
    var cube = cube_add(center, 
                        cube_scale(cube_direction(4), radius))
    for each 0 ≤ i < 6:
        for each 0 ≤ j < radius:
            results.append(cube)
            cube = cube_neighbor(cube, i)
    return results

В этом коде cube начинается на кольце, показанном большой стрелкой от центра к углу схемы. Я выбрал для начала угол 4, потому что он соответствует пути, в котором двигаются мои числа направлений. Вам может понадобиться другой начальный угол. На каждом этапе внутреннего цикла cube двигается на один шестиугольник по кольцу. Через 6 * radius шагов он завершает там, где начал.

Спиральные кольца

Проходя по кольцам по спиральному паттерну, мы можем заполнить внутренние части колец:

function cube_spiral(center, radius):
    var results = [center]
    for each 1 ≤ k ≤ radius:
        results = results + cube_ring(center, k)
    return results

Площадь большого шестиугольника равна сумме всех окружностей плюс 1 для центра. Для вычисления площади используйте эту формулу.

Обход шестиугольников таким способом можно также использовать для вычисления диапазона перемещения (см. выше).

Область видимости

Что видимо из заданного положения с заданным расстоянием, и не перекрывается препятствиями? Простейший способ определить это — нарисовать линию к каждому шестиугольнику в заданном диапазоне. Если линия не встречается со стенами, то вы видите шестиугольник. Перемещайте мышь по шестиугольникам [на схеме в оригинале статьи], чтобы увидеть отрисовку линий к этим шестиугольникам и стены, с которыми линии встречаются.

Этот алгоритм может быть медленным на больших площадях, но его легко реализовать, поэтому рекомендую начать с него.

GIF

Существует много разных определений видимости. Хотите ли вы видеть центр другого шестиугольника из центра начального? Хотите ли вы видеть любую часть другого шестиугольника из центра начального? Может быть, любую часть другого шестиугольника из любой точки начального? Мешающие взгляду препятствия меньше полного шестиугольника? Область видимости — это более хитрое и разнообразное понятие, чем кажется на первый взгляд. Начнём с простейшего алгоритма, но ждите, что он обязательно правильно вычислит ответ в вашем проекте. Бывают даже случаи, когда простой алгоритм даёт нелогичные результаты.

В руководстве Кларка Вербрюгге описывается алгоритм для вычисления области видимости «начинаем с центра и двигаемся наружу». См. также проект Duelo, у которого есть на Github онлайн-демо области видимости с направлениями. Также можете прочитать мою статью об расчёте 2d-видимости, в ней есть алгоритм, работающий с многоугольниками, в том числе и с шестиугольниками. У сообщества любителей roguelike есть хороший набор алгоритмов для сеток квадратов (см. здесь, здесь и здесь). Некоторые из них можно адаптировать под сетки шестиугольников.

Шестиугольники в пиксели

Для перевода из шестиугольников в пиксели полезно изучить схему размеров и расположения, представленную в разделе «Геометрия». В случае осевых координат к преобразованию из шестиугольников в пиксели надо подходить, рассматривая базисные векторы. На схеме стрелка A→Q — это базисный вектор q, а A→R — базисный вектор r. Координата пикселя равна q_basis * q + r_basis * r. Например, B в (1, 1) является суммой базисных векторов q и r.
При наличии библиотеки матриц операция является простым умножением матриц. Однако здесь я запишу код без матриц. Для осевой сетки x = q, z = r, которую я использую в этом руководстве, преобразование будет иметь следующий вид:

Для шестиугольников с плоскими верхами

function hex_to_pixel(hex):
    x = size * 3/2 * hex.q
    y = size * sqrt(3) * (hex.r + hex.q/2)
    return Point(x, y)

Для шестиугольников с острыми верхами

function hex_to_pixel(hex):
    x = size * sqrt(3) * (hex.q + hex.r/2)
    y = size * 3/2 * hex.r
    return Point(x, y)

Матричный подход будет удобен позже, когда нам нужно будет преобразовать координаты пикселей обратно в координаты шестиугольников. Всё, что нам понадобится — обратить матрицу. Для кубических координат можно либо использовать кубические базисные векторы (x, y, z), или сначала преобразовать их в осевые, а затем использовать осевые базисные векторы (q, r).

Для координат смещения нам нужно будет сместить номер столбца или строки (он больше не будет целым). После этого можно использовать базисные векторы q и r, связанные с осями x и y:

Нечет-r

function offset_to_pixel(hex):
    x = size * sqrt(3) * (hex.col + 0.5 * (hex.row&1))
    y = size * 3/2 * hex.row
    return Point(x, y)

Чёт-r

function offset_to_pixel(hex):
    x = size * sqrt(3) * (hex.col - 0.5 * (hex.row&1))
    y = size * 3/2 * hex.row
    return Point(x, y)

Нечет-q

function offset_to_pixel(hex):
    x = size * 3/2 * hex.col
    y = size * sqrt(3) * (hex.row + 0.5 * (hex.col&1))
    return Point(x, y)

Чёт-q

function offset_to_pixel(hex):
    x = size * 3/2 * hex. col
    y = size * sqrt(3) * (hex.row - 0.5 * (hex.col&1))
    return Point(x, y)

К сожалению, координаты смещения не имеют базисных векторов, которые можно использовать вместе с матрицей. Это одна из причин того, почему преобразования из пикселей в шестиугольники сложнее в координатах смещения.

Другой подход: преобразовывать координаты смещения в кубические/осевые координаты, затем использовать преобразование кубических/осевых координат в пиксели. Благодаря встраиванию кода преобразования при оптимизации он в результате будет таким же, как выше.

Из пикселей в шестиугольники

Один из самых частых вопросов заключается в том, как взять положение пикселя (например, щелчка мыши) и преобразовать его в координату сетки шестиугольников? Я покажу, как это делается для осевых или кубических координат. Для координат смещения проще всего будет преобразовать в конце кубические координаты в координаты смещения.GIF

1. Сначала мы инвертируем преобразование из шестиугольника в пиксели. Это даст нам дробные координаты шестиугольника, показанные на рисунке маленьким синим кругом.
2. Затем мы определим шестиугольник, содержащий дробную координату шестиугольника. Он показан на рисунке подсвеченным шестиугольником.

Для преобразования координат шестиугольников в координаты пикселей мы умножили q, r на базисные векторы для получения x, y. Можно считать это умножением матриц. Вот матрица для шестиугольников с острыми верхами:
Преобразование координат пикселей обратно в координаты шестиугольников достаточно прямолинейно. Мы можем обратить матрицу:
Эти вычисления дадут нам дробные осевые координаты (float) для q и r. Функция hex_round() преобразует дробные осевые координаты в целые осевые координаты шестиугольников.

Вот код для осевых шестиугольников с острыми верхами:

function pixel_to_hex(x, y):
    q = (x * sqrt(3)/3 - y / 3) / size
    r = y * 2/3 / size
    return hex_round(Hex(q, r))

А вот код для осевых шестиугольников с плоскими верхами:

function pixel_to_hex(x, y):
    q = x * 2/3 / size
    r = (-x / 3 + sqrt(3)/3 * y) / size
    return hex_round(Hex(q, r))

Эти три строчки кода преобразуют положение пикселя в осевую координату шестиугольника. Если вы используете координаты смещения, то воспользуйтесь return cube_to_hex(cube_round(Cube(q, -q-r, r))).

Существует множество других способов преобразования пикселей в шестиугольники. На этой странице перечислены известные мне.

Округление до ближайшего шестиугольника

Иногда у нас получается кубическая координата (x, y, z) с плавающей запятой, и нам нужно узнать, в каком шестиугольнике она должна находиться. Это выясняется отрисовкой линии и преобразованием из пикселей в шестиугольники. Преобразование значения с плавающей запятой в целое значение называется округлением (rounding), поэтому я назвал этот алгоритм cube_round.

В кубических координатах x + y + z = 0 даже при кубических координатах с плавающей точкой. Поэтому давайте округлим каждую компоненту до ближайшего целого (rx, ry, rz). Однако, хотя x + y + z = 0, после округления у нас нет гарантий того, что rx + ry + rz = 0. Поэтому мы изменяем компоненту с самым большим изменением так, чтобы условие rx + ry + rz = 0 было верным. Например, если изменение y abs(ry-y) больше abs(rx-x) и abs(rz-z), то мы изменяем его на ry = -rx-rz. Это гарантирует нам, что rx + ry + rz = 0. Вот алгоритм:

function cube_round(h):
    var rx = round(h.x)
    var ry = round(h.y)
    var rz = round(h.z)

    var x_diff = abs(rx - h.x)
    var y_diff = abs(ry - h.y)
    var z_diff = abs(rz - h.z)

    if x_diff > y_diff and x_diff > z_diff:
        rx = -ry-rz
    else if y_diff > z_diff:
        ry = -rx-rz
    else:
        rz = -rx-ry

    return Cube(rx, ry, rz)

Для некубических координат проще всего будет преобразовать их в кубические координаты, воспользоваться алгоритмом округления, а затем преобразовать обратно:

function hex_round(h):
    return cube_to_hex(cube_round(hex_to_cube(h)))

Примечание о реализации: cube_round и hex_round получают координаты в float, а не в int. Если вы написали классы Cube и Hex, они будут отлично работать в языках с динамической типизацией, в которых можно передавать числа с плавающей запятой вместо целых, и в языках со статической типизацией с унифицированным типом чисел. Однако в большинстве языков со статической типизацией нужен будет отдельный тип class/struct для координат float и cube_round будет иметь тип FloatCube → Cube. Если вам также нужна hex_round, она будет FloatHex → Hex, использующей вспомогательную функцию floatcube_to_floathex вместо cube_to_hex. В языках с параметризированными типами (C++, Haskell и т.д.) можно определить Cube, где T является int или float. Или же можно написать cube_round для получения трёх чисел с плавающей точкой в качестве входных данных вместо определения нового типа только для этой функции.

Хранение карт в осевых координатах

Чаще всего осевая система координат вызывает жалобы потому, что приводит к ненужному расходованию пространства при использовании прямоугольных карт. Это одна из причин в пользу системы координат смещения. Однако все системы координат шестиугольников приводят к расходу пространства при использовании треугольных или шестиугольных карт. Мы можем использовать одну стратегию для хранения всех этих типов карт.

Прямоугольная карта

Треугольная карта

Шестиугольная карта

Ромбовидная карта

Заметьте на схеме, что неиспользуемое пространство находится справа и слева от каждой строки (за исключением ромбовидных карт). Это даёт нам три варианта стратегий хранения карты:

1. Игнорировать проблему. Использовать сплошной массив с нулями или другими индикаторами неиспользуемого пространства. Для этих стандартных форм карт неиспользуемое пространство может занимать максимум половину массива. Возможно, использование более сложных решений нерационально.
2. Использовать вместо сплошного массива хеш-таблицу. Это позволяет использовать карты произвольной формы, в том числе и с отверстиями. Когда нужно получить доступ к шестиугольнику в q,r мы вместо этого получаем доступ к hash_table(hash(q,r)). Инкапсулируем её в геттер/сеттер в классе сетки, чтобы остальная часть игры не должна была знать о ней.
3. Сместить строки влево и использовать строки с переменным размером. Во многих языках двухмерный массив является массивом массивов. Массивы необязательно должны быть одной длины. Это позволяет избавиться от неиспользуемого пространства справа. Кроме того, если начинать массивы с самого левого столбца вместо 0, то удалится неиспользуемое пространство слева.

   Чтобы применить эту стратегию в произвольных выпуклых картах, необходимо хранить дополнительный массив «первых столбцов». Когда нужно получить доступ к шестиугольнику в q,r, мы вместо этого получаем доступ к array[r][q - first_column[r]]. Инкапсулируем его в геттер/сеттер в классе сетки, чтобы остальная часть игры не должна была знать о нём. На съеме first_column показан в левой части каждой строки.

   Если карты имеют фиксированные формы, то «первые столбцы» можно вычислять «на лету», а не хранить их в массиве.

   • Для прямоугольных карт first_column[r] == -floor(r/2). В результате мы получаем доступ к array[r][q + r/2], что оказывается аналогом преобразования координат в координаты смещения сетки.
   • Для треугольных карт, как здесь показано, first_column[r] == 0, поэтому мы получаем доступ к access array[r][q] — очень удобно! Для треугольных карт, ориентированных по-другому (не показаны на схеме), это будет array[r][q+r].
   • Для шестиугольных карт радиуса N, где N = max(abs(x), abs(y), abs(z), у нас получается first_column[r] == -N - min(0, r). Мы получаем доступ к array[r][q + N + min(0, r)]. Однако так как мы начинаем с каких-то значений r < 0, нам также нужно сместить строку и использовать array[r + N][q + N + min(0, r)].
   • Для ромбовидных карт всё идеально совпадает, поэтому можно использовать массив array[r][q].

Зацикленные карты

В некоторых играх требуется, чтобы карта «склеивалась» по краям. Квадратную карту можно обернуть только по оси x (что примерно соответствует сфере) или по обеим осям x и y (что примерно соответствует тору). Сворачивание зависит от формы карты, а не от формы её элементов. Сворачивание квадратной карты проще выполняется в координатах смещения. Я покажу, как выполняется сворачивание шестиугольной карты в кубических координатах.

Относительно центра карты существует шесть «зеркальных» центров. При выходе с карты мы вычитаем ближайший к нам зеркальный центр, пока снова не вернёмся на основную карту. На схеме [в оригинале статьи] попробуйте покинуть центральную карту, и понаблюдайте, как один из зеркальных центров входит в карту с противоположной стороны.

Простейшей реализацией будет предварительное вычисление ответов. Создаём таблицу подстановок, хранящую для каждого шестиугольника, выходящего с карты, соответствующий куб с другой стороны. Для каждого из шести зеркальных центров M и для каждого из положений на карте L храним mirror_table[cube_add(M, L)] = L. Каждый раз при вычислении шестиугольника, находящегося в таблице зеркал заменяем его неотзеркаленной версией.

На шестиугольной карте с радиусом N зеркальные центры будут Cube(2*N+1, -N, -N-1) и шестью его поворотами.

GIF

Поиск пути

При использовании поиска пути на графах, например алгоритма поиска A*, алгоритма Дейкстры или Флойда-Уоршелла поиск пути на сетках шестиугольников не отличается от поиска пути на сетках квадратов. Пояснения и код из моего руководства по поиску пути применимы и для сеток шестиугольников.
[В оригинале статьи пример интерактивен, нажатиями мыши можно добавлять и удалять стены]

1. Соседи. Пример кода, представленный в руководстве по поиску пути, вызывает для получения соседних с положением элементов graph.neighbors. Используйте для этого функцию в разделе «Соседние шестиугольники». Отфильтровывайте непроходимые соседние шестиугольники.
2. Heuristic. В примере кода алгоритма A* используется функция heuristic, получающая расстояние между двумя положениями. Используйте формулу расстояний, умноженную на затраты на передвижение. Например, если перемещение стоит 5 единиц на шестиугольник, то умножайте расстояние на 5.

Дополнительное чтение

У меня есть руководство по реализации собственной библиотеки сеток шестиугольников с примерами кода на C++, Java, C#, Javascript, Haxe и Python.

• В моём руководстве по сеткам я рассматриваю осевые системы координат и обработку граней и углов квадратов, треугольников и шестиугольников. Также я объясняю, как связаны сетки квадратов и шестиугольников.
• Лучшим ранним руководством, которое я видел, стало руководство Кларка Вербрюгге, написанное в 1996 году.
• Впервые я увидел кубическую систему координат в посте 1994 года Чарльза Фу в rec.games.programmer.
• В DevMag есть хороший визуальный обзор математики шестиугольников, включая способы представления площадей, таких как полуплоскости, треугольники и четырёхугольники. Существует версия в PDF, которая немного подробнее. Крайне рекомендуется к изучению! Библиотека GameLogic Grids реализует эти и многие другие типы сеток в Unity.
• У Джеймса Макнейла есть хорошее визуальное объяснение преобразований сеток.
• Обзор типов координат шестиугольников: ступенчатых (со смещением), чередуемых, трёхмерных (кубических) и трапецеидальных (осевых).
• Библиотека Rot.js содержит список систем координат шестиугольников: неортогональной (осевой), с нечётным сдвигом (со смещением), двойной ширины (чередуемой), кубической.
• Диапазон в кубических координатах: какие шестиугольники находятся на заданном расстоянии от заданного?
• Определение расстояний в сетках шестиугольников с помощью кубических координат и объяснение причин использования кубических координат вместо координат смещения.
• В этом руководстве объясняются основы измерения и отрисовки шестиугольников с помощью сетки смещения.
• Преобразование кубических координат шестиугольников в координаты пикселей.
• В этом посте объясняется, как генерировать кольца.
• В системе HexPart используются как шестиугольники, так и прямоугольники для упрощения работы с некоторыми алгоритмами.
• Есть ли плюсы и минусы у шестиугольников с плоским и острым верхом?
• Линия видимости в сетке шестиугольников с координатами смещения, разделение шестиугольников на треугольники. [Нерабочая ссылка]
• Hexnet объясняет, что соотношение между шестиугольниками и кубами намного глубже, чем я описал в этой статье, и обобщает связь до большего количества измерений.
• Я использовал PDF с сетками шестиугольников с этой страницы, когда работал над некоторыми алгоритмами.
• Обобщённая сбалансированная троичная система счисления для координат шестиугольников выглядит интересно; я пока не изучал её.
• Hex-Grid Utilities — это библиотека C# с открытым исходным кодом для математики сеток шестиугольников с определением соседних шестиугольников, сетками, поиском диапазонов и путей, областью видимости. Лицензия MIT.
• В обсуждениях на Reddit, Hacker News и MetaFilter есть больше комментариев и ссылок.

Код [оригинала] этой статьи написан на смеси Haxe и Javascript: Cube.hx, Hex.hx, Grid.hx, ScreenCoordinate.hx, ui.js и cubegrid.js (для анимации кубов/шестиугольников). Однако если вы хотите написать свою библиотеку сеток шестиугольников, то рекомендую вместо этого кода изучить моё руководство по реализации.

Я хочу в дальнейшем расширять это руководство. У меня есть список на Trello.

Как рисовать шестиугольные плоскости, в том числе рисовать шестиугольные призмы и пирамиды с помощью последующего урока геометрических фигур.

Текст выше фактически состоит из изображений, поэтому, если вам нужно скопировать часть текста, сделайте это ниже.Благодарю. ОБЫЧНАЯ ШЕСТИГРАННАЯ ПЛОСКОСТЬ. Этот урок является подготовительным к рисованию правильной шестиугольной призмы в следующем уроке. Поместите большую правильную шестиугольную плоскость, вырезанную из жесткого картона или тонкого дерева, перед классом в вертикальном положении и опираясь на один край, сначала плоскостью под прямым углом к ​​линии направления, как на рис.59, а затем так что касается представления ракурсов, как на рис.6o, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68 и 69; или ученики могут легко вырезать небольшие шестиугольные плоскости с краями длиной два дюйма и разместить их на своих столах или опорах для моделей в нужных местах. Этот урок должен быть нарисован на пустой странице 9, вертикальные позиции в верхней половине страницы и горизонтальные позиции в нижней половине. Когда шестиугольная плоскость вертикальна, перпендикулярна линии направления и: вложение на одном краю, как на рис.59, точка 6 будет прямо над 8, точка 7 над 9, а вертикальные линии 6-8 и 7-9 будут пересекать горизонтальную линию 1-2 на четверть от любой точки, в точках 4 и 5. Следовательно, для этого положения (рис. 59) нарисуйте горизонтальную диагональ 1-2 и удобную длину и разделите ее на четыре равные части в точках 3, 4 и 5. Через 4 и 5 проведите вертикальные линии 6-7 и 8-9 подходящей длины и нарисуйте линии 1-6, 1-8, 2-7, 2-9, 6-7 и 8-9. Если плоскость расположена вертикально и в укороченном виде, как на рис.6o, 61, 62 и 63 действуйте как прежде. Нарисуйте 1-2 правильного кажущегося уклона и разделите его на четыре части, которые немного неравны, r -5 немного больше, чем 5-3, и так далее. Через 4 и 5 проведите вертикальные линии соответствующей длины до 6, 7, 8 и 9, от которых проведите точки 6-2, 6-8, 8-1, 1-9, 9-7 и 7-2. Обратите внимание, что 6-8 и 7-9 будут немного сходиться с 1-2 от точки r. Когда плоскость горизонтальна, как на рис. 64, 65, 66, 67, 68 и 69 проведите любую диагональ через центр, как r — 2, и разделите ее на четыре равные части, если 1–2 горизонтальны, или очень немного неравны, если I — 2 не горизонтально, самая большая часть находится ближе всего к глазу.Через 4 и 5 проведите линии с правильным кажущимся наклоном и длиной до 6, 7, 8 и 9, от которых проведите точки 6-8, 7-9, I -9, 1-8, 2-7 и 2 — 6. ПРАВИЛЬНАЯ ОБЫЧНАЯ ШЕСТИГРАННАЯ ПРИЗМА. Поместите большую правую правильную шестиугольную призму перед классом, сначала с одной прямоугольной гранью на горизонтальной плоскости в нескольких положениях, а затем поставьте на одном конце в нескольких положениях, как показано в мелком масштабе на рис. 7o, 71, 72, 73 и 74; или же маленькие картонные призмы, четыре или пять дюймов длиной, могут быть легко построенные учениками путем разметки, вырезания, складывания и рис.U. вставка формы, показанной на рис. U. Этот урок следует провести на пустой странице Когда призма расположена горизонтально, как на рис. 70, 71 и 72, нарисуйте видимый конец, как описано ранее, для вертикальной правильной шестиугольной плоскости. Затем нарисуйте края 9–10, I –11, 8–12 и 6–13 надлежащего видимого наклона и сравнительной длины по сравнению с вертикальной линией 8–9, которая может иметь длину около двух с половиной дюймов. Завершите работу, нарисовав линии 10-11, 11-12 и 12-13. Когда призма расположена вертикально, как на рис.73 и 74, нарисуйте видимый конец, как ранее объяснялось для правильной шестиугольной плоскости. Затем проведите вертикальные линии вниз для длинных видимых краев, соответствующей длины по сравнению с горизонтальной шириной объекта, и завершите линии для видимых краев внизу. ПРАВИЛЬНАЯ ОБЫЧНАЯ ШЕСТИГРАННАЯ ПИРАМИДА. Поместите большую правильную шестиугольную пирамиду перед классом, сначала стоя на основании, в нескольких положениях, а затем опираясь одной из своих треугольных граней на горизонтальную плоскость, в нескольких положениях, как показано в мелком масштабе на рис.75, 76, 77, 78, 79 и 80; или ученики могут легко сделать маленькие пирамиды высотой четыре или пять дюймов из картона, размечая, вырезая, складывая и наклеивая форму, показанную на рис. V. Этот урок следует нарисовать на чистой странице I t, вертикальной позиции в верхней части страницы, пять или шесть дюймов в высоту, и горизонтальные позиции в нижней части страницы. Когда пирамида стоит на основании, как на рис. 75, 76 и 77, основание 1-8-6, 2-7-9 должно быть сначала нарисовано так, как указано для горизонтальных правильных шестиугольных плоскостей.Проведите любые две диагонали через противоположные углы этого основания, чтобы найти центр, 3, в котором выстроите вертикальную линию надлежащей высоты для вершины, 10. Соедините вершину с видимыми углами основания с помощью прямых линий. . Когда пирамида лежит на одной треугольной грани и видно все основание, как на рис. 79 и 80o, сначала можно нарисовать основание, как описано ранее для правильных шестиугольных плоскостей. Путем тщательной оценки и измерения карандашом зафиксируйте точку для вершины и присоедините ее к углам основания, чтобы отобразить видимые края.Если все края основания не видны, как на рис. 78, определите кажущийся уклон и нарисуйте самый длинный край на полу; затем соединяемых с ним краев и так далее, пока рисунок не будет завершен. ПИРАМИДА ПРАВАЯ ПЛОЩАДЬ. Поместите большую правую квадратную пирамиду перед классом, сначала поставив на ее основание в нескольких положениях, а затем положив на одну из ее треугольных граней в нескольких положениях, как это видно и расположено в мелком масштабе на рис.37, 38, 39, 4o, 41 и 42. Пирамида также может быть построена из картона в соответствии с формой, показанной на рис. R, и размещена на столе ученика или на подставке для модели. Вертикальные пирамиды должны быть нарисованы в верхней части пустой страницы 6 и иметь высоту четыре или пять дюймов. Горизонтальные пирамиды должны быть нарисованы в нижней части пустой страницы 6, а высота основания — около двух с половиной дюймов. Когда пирамида стоит на основании, как на рис. 37, 38 и 39, зафиксируйте точку на ближайшем углу основания.Определите и нарисуйте наклон видимых краев 1 — 2 и 1 — 3 на полу. Завершите основу, нарисовав 2-4. сходящиеся с 1–3 и 3–4, сходящиеся с 1–2. Нарисуйте диагонали основания 1–4 и 2–3 так, чтобы найти центр 5, в этой точке проведите вертикальную линию надлежащей высоты для вершина 6, так как вершина правой пирамиды, стоящей на ее основании, будет прямо над центром ее основания. От вершины 6 проведите прямые линии до видимых углов основания. Когда пирамида лежит на одной из своих треугольных граней, как на рис. 40, 41 и 42, сначала найдите кажущийся наклон видимых краев пола, затем соединенных с ними краев, пока не будет получено все целое. Для домашнего урока ученики могут нарисовать башню или колокольню церкви или другого здания, или какой-нибудь пирамидальный объект, а затем нарисовать его на одной из ненумерованных чистых страниц тетради. КВАДРАТНАЯ РАМА. Этот объект может быть изготовлен из картона путем отсечения и разрезания формы, подобной изображенной на рис. S, сгиба ее по пунктирным линиям и склеивания краев вместе, как указано ранее. Размер рамы в готовом виде должен составлять около четырех дюймов.

Пирамид шестиугольный

Una шестиугольный пирамид es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es un hexágono y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que se denomina ápice (or vértice de la).Estará compuesta, por tanto, por 7 caras, la base hexagon y seis triángulos laterales que confluyen en el vértice.

Пирамидные элементы шестиугольные

En una Пирамид шестиугольный se pueden diferenciar los siguientes elementos :

• База ( B ): hexágono cualquiera. Es la única cara que no toca al vértice de la pirámide.
• Caras ( C ): los triángulos de los laterales y la base.
• Aristas ( a ): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide. Podemos Differentir: aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o ápice) y aristas básicas, que están en la base.
• Altura ( h ): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
• Vértice de la pirámide ( V ): punto donde confluyen las caras laterales triangulares. También se llama ápice .
• Apotema de la pirámide ( ap ): distancia del vértice a un lado de la base. Solo existe en las pirámides Regalares. Puesto que en este caso las caras laterales son isósceles, la apotema de la pirámide es también la altura de las caras laterales.
• Apotema de la base ( ap _b ): distancia de un lado de la base al centro de ésta. Solo existe en las pirámides Regalares.

Apotema de la pirámide шестиугольная

La apotema de la pirámide hexagonal es la distancia del ápice a un lado de la base.Solo existe en las pirámides hexagonales Regular.

En las pirámides hexagonales regares, la altura ( h ), la apotema de la base ( ap _b ) и la apotema de la pirámide ( ap ) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras , conociendo la altura ( h ) y la apotema de la base ( ap _b ) podemos calcular la apotema :

Шестигранный тип пирамида

Existen dos , шестигранный тип пирамида :

• Пирамид шестиугольный, правильный : основание — это правильный шестиугольник и прямая (прямая, перпендикулярная основанию, паста пор эль вертице де ла пирамид корта а ля основание по су центро).Las caras laterales son triángulos isósceles e iguales entre sí.
• Пирамид шестиугольной неправильной формы : es aquella cuya base es un hexágono irregular o bien es una pirámide hexagonal oblicua.

La fórmula del Площадь шестиугольного пирамида cambia según si la pirámide es правильная или неправильная.

Область пирамида шестиугольная правильная

La Пирамид шестиугольный, правильный тиен, как основание, так и правильный шестиугольник.La fórmula de su área es:

Область пирамида шестиугольная неправильная

La пирамид шестиугольной неправильной формы no admite una fórmula specific para su área. Por lo tanto, para su cálculo se utiliza la fórmula general del área de la pirámide.

Гексагональный объем гексагонального пирамида , зависимый от пирамида, правильный или неправильный.

Гексагональный объем пирамида, правильный

Размер объем шестиугольного регулярного пирамида — это продукт площади основания ( A _b ) на высоте ( h ) на портах дивидидо пирамида.El área de la base es el área del hexágono регулярный. Por lo tanto, su fórmula es:

Гексагональный объем пирамида неправильной формы

La Пирамид шестиугольной неправильной формы не имеет специальной формы для объема , в зависимости от области основания ( A _b ). Es por ello que para calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.

Руководство по тренировке с обратной пирамидой

Мои физические данные и сила основаны на тренировке по обратной пирамиде ( RPT ).Мои клиенты? RPT. За свои 19 лет тренировок с отягощениями я испробовал бесчисленное количество методов, но всегда возвращаюсь к RPT. Это самый надежный и эффективный из тех, что я когда-либо встречал.

Если бы это было не так, я бы не использовал его. Я не замужем за методами, только за результатами. Я живу и умираю по результатам, вот как я зарабатываю деньги. У меня нет учебного пособия по RPT для продажи, и у меня нет в нем ничего, чтобы я мог делать эти заявления или писать это руководство. Только признательность, если ваш опыт подтвердит мои собственные.

Ниже подробно описаны особенности RPT для начинающих и среднего уровня.Он предоставляет инструменты для продвижения на продвинутую стадию и, возможно, за ее пределы (как это сделал я). В нем , а не подробно описывается полный объем RPT для набора мышечной массы для продвинутых или продвинутых лифтеров по двум причинам.

1. Лифтеры продвинутого уровня составляют 10% моей аудитории.
2. Оптимизация RPT для Advanced / Highly Advanced значительно сложнее и включает в себя несколько способов, которые потребуют длинных пояснений и удвоения длины статьи. В зависимости от приема, я могу написать об этом в будущем.

Тем не менее, я обращаюсь к тому, что следует и чего нельзя делать при использовании RPT для набора мышечной массы, и показываю общую схему.

Обязательная литература: Fuckarounditis

Дополнительное чтение (фон / настройка RPT): Revisited Pyramid Revisited

Наслаждайтесь. И не забудьте прочитать все сноски.

---

Тренировка обратной пирамиды

RPT: Плюсы

Есть две области, в которых RPT выделяется. Первое — это эффективность времени. Действительно, исследования показывают, что RPT более эффективен по времени, чем 5 x 5, и предлагает лучшие результаты.Так что да, если время ограничено, и вы не можете посещать тренажерный зал чаще трех раз в неделю, вы должны учитывать каждый подход. RPT делает. Здесь нет места для звонков или полусидей. Каждый набор — это AMRAP. Если это не так, вы не делаете RPT. Не могу с этим справиться? Тогда перестаньте читать, потому что RPT не для вас.

Второй — на диете. RPT — это, несомненно, самый эффективный способ нарастить или сохранить мышцы и силу при сжигании жира. Хотя сравнительных исследований методов тренировки с отягощениями нет, в пудинге есть стойкость к резке.В свое время я приготовил много пудинга, и большинство моих клиентов оказываются сильнее и стройнее, когда я с ними покончил. В моих собственных интересах предлагать клиентам лучшую программу, потому что, опять же, именно так я зарабатываю. Их успех принадлежит мне. И почему они на RPT.

Можно добавить третий пункт и сказать, что RPT — самый увлекательный способ тренировки. Но это было бы слишком субъективно. Лично я ценю RPT и по этой причине.

RPT: против

Является ли RPT Святым Граалем силовых тренировок? В некотором смысле да, но есть случаи, когда RPT не идеален.Например, пауэрлифтинг — это развитие двигательных паттернов и технических навыков в жиме лежа, приседаниях и становой тяге.

Чтобы стать конкурентоспособным пауэрлифтером, нельзя рассчитывать на 2-3 подхода до отказа один или два раза в неделю. Вам понадобится в 5-10 раз больше еженедельного объема, 4-6 дней в тренажерном зале, терпение, желательно тренер, и совершенно другое отношение к прогрессу.

Тренироваться до отказа и полагаться на линейную или двойную прогрессию — это не то, как тренируются успешные пауэрлифтеры, которых я знаю.И знаю немало, прямо или косвенно. Но это можно сказать о любом виде спорта, который не зависит исключительно от чистой силы и гипертрофии мышц, включая олимпийскую тяжелую атлетику и силачей.

RPT: настройка

Давайте перейдем к мелочам. Пирамида в тренировках с обратной пирамидой ссылается на пирамиду повторений, методику тренировки, популярную среди бодибилдеров. Типичная пирамида начинается с более низких нагрузок и большего количества повторений, затем переходит в более высокие нагрузки и меньшее количество повторений, таким образом завершаясь самым тяжелым подходом.

Стандартная тренировка по пирамиде и тренировка с обратной пирамидой

RPT — это обратное, начиная с тяжелого и заканчивая высоким, что чертовски логично. Зачем использовать самые тяжелые нагрузки, используя некорректную технику и неэффективно, потому что вы устали от предыдущих подходов? Похоже на рецепт травм и дерьмовых результатов.

Но если перевернуть эту пирамиду вверх дном, произойдет волшебство. Вот как:

• Разминка: 2-5 подходов по 40-67% от вашего первого подхода x 3-6
• Цель: 8
• Разбивка: 10%
  • Набор 1: 100 x 8
  • Набор 2: 90 x 10
  • Набор 3:80 x 12

Вот как выглядит типичная последовательность RPT.Теперь давайте обсудим разминки, цели, прогресс и неудачи.

Разминка

Разминка — это очень индивидуально, и я не собираюсь вдаваться в подробности, чем это.

1. Сеанс RPT всегда начинается со становой тяги, жима лежа или приседаний. В зависимости от того, как выглядит остальная часть вашей тренировки, вы можете полностью разогреться для всего остального, если просто сделаете правильную разминку перед первым упражнением. Я так и делаю, но ваш опыт может отличаться.
2. Вообще говоря, двадцатилетним людям нужно меньше разогреваться, чем, например, пятидесятилетним.
3. Из этого также следует, что некоторые движения требуют большей разминки перед первым подходом, распространенным примером являются приседания.
4. С учетом всего сказанного, сделайте столько разминки, сколько вам нужно, , прежде чем почувствовать себя комфортно, войдя в свой первый рабочий набор.
5. … НО, и это главное, держите разминку отдельно от рабочего набора. Никаких неполноценных сетов, которые не были бы достаточно сложными, чтобы быть настоящим сетом, но достаточно сложными, чтобы вызвать утомление. Я вижу много такого дерьма в тренажерном зале, где вы не можете точно сказать, выполняет ли человек подход с хромым членом или просто слишком далеко заходит на разминку.
6. Если вам нужны приблизительные рекомендации, сделайте разминку 2-5 подходами по 40-67% вашего рабочего набора для становой тяги, жима лежа и приседаний. Лично я использую 2 подхода для жима, последний из которых составляет 2-3 x 67%. В становой тяге я делаю 4-5, начиная с 4-5 х 50% и заканчивая 2-3 х 67%. То же самое и с приседаниями.

Цели и прогресс

Есть две основные области, которые представляют интерес, когда дело доходит до RPT, Goal и Set 1.

Неделя 1

• Гол: 8
  • Набор 1: 100 x 8
  • Набор 2: 90 x 10
  • Набор 3:80 x 12

Быстрый праймер для линейной и двойной прогрессии.Линейная прогрессия — это когда вы увеличиваете нагрузку на каждой тренировке, делая 100 раз в первую неделю, 102,5 на следующей неделе, 105 в третью неделю и так далее.

Проблема с линейной прогрессией в том, что ваши повторения не успевают за ними, потому что вы ни за что не собираетесь прибавлять 2,5 кг или 5 фунтов каждую неделю. Рано или поздно вы убиваете свои конечности и теряете прогресс с трехповторным гриндером. Не поймите меня неправильно, линейная прогрессия имеет свое место, но не в этом контексте.

RPT использует двойной прогрессии .Двойной прогресс — это когда вы увеличиваете количество повторений и увеличиваете нагрузку после того, как вы можете выполнить определенное количество повторений. Это определенное число и есть Цель. В приведенной выше последовательности у нас есть «Цель: 8» и «Набор 1: 100 x 8.» Если цель — 8, а количество повторений> 8 в подходе 1, этот подход можно увеличить в следующем сеансе. Давайте смоделируем этот сеанс.

2 неделя

• Гол: 8
  • Набор 1: 102,5 x 8
  • Набор 2: 92,5 x 10
  • Набор 3: 82,5 x 12

Это солидный прирост, +2.5 по всем направлениям! Поздравляем, вы набрали мышечную массу, стали сильнее и сделали один шаг к телосложению своей мечты. Посмотрим, как пройдет следующая неделя.

3 неделя

• Гол: 8
  • Набор 1: 105 x 7
  • Набор 2: 95 x 9
  • Набор 3: 85 x 12

Похоже, что мы не совсем достигли цели в этой сессии, но посмотрите на сет 3. Вы выросли на +2,5 по сравнению с сетом на прошлой неделе 3. Вы стали сильнее, но этого увеличения недостаточно, чтобы зарегистрировать + 2.5 прибавок во всех 3 подходах. Если у вас средний уровень, будьте готовы столкнуться с этой ситуацией на большинстве тренировок.

У вас , а не , вы увидите линейное увеличение на 2,5 от недели к неделе, это просто невозможно. Но может и увидят прибавку во втором и третьем наборе, если вы все делаете правильно. Используя вышеупомянутый пример, когда вы наберете 10+ в подходе 2 и 12+ в подходе 3, это только вопрос времени, когда вы получите 105 x 8 и сможете увеличить вес до 107,5.

Но подождите секундочку! Некоторые вы думаете в этот самый момент.В «Reverse Pyramid Revisited» я подробно описал систему, в которой каждый подход развивается независимо, так что подходы 2 и 3 будут иметь право на увеличение на неделе 3, тогда как набор 1 — нет. Что ж, исходя из моего опыта с тех пор, я отказался от этой системы в пользу этой.

Старый RPT (независимый) vs новый RPT (зависимый). «Зависимые», потому что нагрузки зависят от первого набора и не развиваются независимо, как в предыдущей системе.

Почему? Потому что это более эффективно, все просто. И если вы являетесь клиентом, читающим это, то да, переключитесь с независимой системы на зависимую (это).

---

Поломки

Ключевой компонент RPT, разбивка показывает, насколько снижается нагрузка в каждом комплекте, следующем за первым. Это выражается в процентах и ​​варьируется в зависимости от движения.

• Становая тяга, приседания, подтягивания с отягощением и тяга: 10%
• Жим лежа, жим над головой и ряд уплотнений: 5%
• Вспомогательные / вспомогательные движения: 10%

Использование этих цифр обычно приводит к увеличению на 0–2 повторений в подходе, а иногда и больше.Не стесняйтесь экспериментировать и корректировать до тех пор, пока последовательность не будет напоминать обратную пирамиду, то есть начиная ниже и заканчивая выше.

AMRAP против максимального усилия против тренировки до отказа

У меня всегда была проблема, говоря людям, что они должны «тренироваться до отказа» на RPT, потому что это не совсем цель. Лично я не могу вспомнить, когда в последний раз мне действительно не удавалось выполнить повторение. Был тот неприятный момент, когда 15 лет назад я застрял со штангой на груди, но, честно говоря, это единственный раз, когда я «тренировался до отказа».”

Итак, вместо того, чтобы тренироваться до отказа, я сказал клиентам прикладывать максимум усилий в каждом подходе. Это, как я объяснил, означает, что они должны сделать как можно больше повторений — используя хорошую технику — и закончить подход, если они сомневаются в своей способности выполнить еще одно повторение.

Это также то, что я имею в виду, когда говорю, что каждый подход является AMRAP — аббревиатурой, знакомой большинству лифтеров, поэтому я чаще использую это выражение вместо максимальных усилий.

Надеюсь, это проясняет ситуацию.Некоторые люди интерпретировали «Обратное посещение пирамиды» как означающее, что нужно выполнять (количество повторений предыдущего сета + 1) подходами, следующими за первым, что не соответствует действительности. Каждый подход является AMRAP, не имеет значения, делаете ли вы столько же повторений, сколько в предыдущем подходе, или еще 2-3 повторения. Важны усилия.

Наконец, не используйте корректировщиков, если они не следуют инструкциям и не касаются планки. Наблюдатель — , только , чтобы помочь вам поставить штангу, если вам не удастся выполнить повторение. Это , а не , чтобы помочь вам сделать дополнительные повторения, когда вы не можете сделать это самостоятельно.Так что не используйте их для этой цели.

RPT Образец недели

Хорошо, давайте посмотрим на базовую настройку, используя понедельник, среду и пятницу. Если вам не нравятся эти дни, используйте вторник-четверг-субботу или среду-пятницу-воскресенье.

понедельник

• Становая тяга — 2 x 6
• Ряд или Жим над головой — 3 x 8
• Аксессуар: икры, бицепсы или трицепсы — 2 x 10

среда

• Жим лежа — 3 x 8
• Ряд или Жим над головой — 3 x 8
• Аксессуар: икры, бицепсы или трицепсы — 2 x 10

пятница

• Приседания — 3 x 10
• Подтягивание с отягощением — 3 x 8
• Аксессуар: икры, бицепсы или трицепсы — 2 x 10

Примечания к распорядку дня

• 2 x 6 означает 2 сета с голом 6.3 x 8 означает 3 подхода с голом 8. И т. Д.
• Для начала выберите нагрузку, с которой вы можете справиться не меньше, чем Цель -1 в первом наборе. > 7 повторений в жиме лежа — нормально, <6 - нет.
• Каждая тренировка состоит из двух составных движений и одного дополнительного движения. Всегда начинайте с большого (приседания) и заканчивайте с малого (икры, бицепсы / трицепсы и т. Д.).
• В приведенном выше примере вы можете выбрать, хотите ли вы, чтобы строки: в понедельник, печатные прессы в среду или наоборот. Что касается дополнительных движений, вы можете выбрать, хотите ли вы по одному на каждой тренировке или по две; например, чтобы сэкономить время, можно делать бицепсы и трицепсы спина к спине, e.г. чередование сгибаний и отжиманий с отдыхом между движениями 60-90 секунд.
• Отдыхайте не менее 3 минут между подходами, желательно больше между подходами в становой тяге и приседаниями.
• Используйте типовой распорядок , как и , если вы соблюдаете диету, предпочтительно есть больше в дни тренировок, меньше в дни отдыха, например как указано в Руководстве по Leangains. Если все сделано правильно, это приведет к увеличению силы и мышечной массы вплоть до промежуточной стадии.
• Если вы поддерживаете (а это слово и практика я ненавижу), вы можете поэкспериментировать с большим количеством сетов, даже если я лично считаю это бессмысленным.
• Без разгрузки, если вы сидите на диете. Незачем.

RPT для набора мышечной массы

Образец распорядка можно и нужно использовать, как описано, если вы соблюдаете диету. Увеличение объема или другие изменения, скорее всего, будут контрпродуктивными, чем эффективными, поэтому делайте это на свой страх и риск. Прирост мышц — это отдельная история. Если вы поддерживаете еженедельный избыток калорий на уровне не менее 2000 ккал, увеличение объема на 1-3 подхода на каждое упражнение даст лучших результатов для .

Есть разные способы сделать это.Вот несколько примеров, в том числе некоторые учебники по RPT для набора мышечной массы.

• Добавьте четвертый день в субботу. Тогда эта тренировка будет похожа на среду по структуре, но немного отличается по выполнению. Если вы собираетесь использовать те же движения, увеличьте цель на 2 и уменьшите нагрузки на 5%. Если вы хотите изменить движения, вы найдете подходящую замену в отжиманиях с отягощениями или жиме лежа с паузой, в тяге с Т-перекладиной или в другом варианте тяги по средам, а также в любом упражнении для икры, бицепса или трицепса.
• Добавь больше объема ногам в понедельник. Чтобы это работало с приседаниями, вам нужно разместить приседания перед мертвыми; однако я не рекомендую RPT для этого приседания (вы умрете). Вместо этого приседайте для увеличения объема с RPE 7-8. Другой вариант — добавить несколько изолирующих движений, таких как сгибание или разгибание ног, в конце тренировки.
• Как правило, тренируйтесь каждое упражнение два раза в неделю для набора мышц. Исключения:
  • A) Становую тягу нельзя делать чаще одного раза в неделю.
  • B) Тренируйте тягу или подтягивание дважды в неделю; по моему опыту делать и то и другое дважды в неделю — это перебор.
• Обеспечьте 72 часа отдыха между упражнениями и их вариациями.
• Разгрузки рано или поздно понадобятся, но из-за сложности этой темы скажу, что я не фанат разгрузки недель . Вместо этого делайте разгрузочные дни. Если у вас болят суставы и все кажется тяжелым, уменьшите нагрузку на все движения на 15% и сделайте хороший насос. Да я серьезно.

Уф! Хорошо, это все, ребята. Надеюсь, вам понравилось читать, и вы нашли учение полезным. Я, наверное, заеду еще на выходных и добавлю / изменю / уточню все, что нужно. Дай мне знать, если что-то не так, ладно?

О, и, пожалуйста, поделитесь и помогите мне вылечить человечество от фукарундита. Сделайте мир лучше.

---

П.С. Моя первая книга отложена до февраля.