Как нарисовать по клеточкам кристалл: Как нарисовать кристалл карандашом. ТОП лучших вариантов для начинающих

Дома создать аппарат, поддерживающий настолько высокую температуру и нужное давление, пока ещё никому не удавалось. Но некоторые «мастера» делятся советами о том, как всё-таки можно это сделать. Например, советуют взять толстостенную трубу, графит и тротил. Затем сложить тротил и графит в трубу и заварить её. Утверждается, что если взорвать тротил, а потом суметь отыскать остатки трубы, то в них вы найдете малюсенькие алмазики. На практике же шанс покалечиться в сотни раз превышает вероятность получить таким образом алмаз.

Другие «умельцы» предлагают более безопасный метод создания алмазов. Для него понадобится только карандаш, провод, вода (лучше жидкий азот) и источник высокого напряжения (например, сварочный аппарат). Достаньте из карандаша грифель и привяжите к обоим его концам провод. Грифель с проводом положите в контейнер с водой и заморозьте (или используйте для этих целей жидкий азот). Достаньте грифель из морозильника, присоедините провода к сварочному аппарату. Считается, что как только вы пропустите через свою конструкции сильный разряд тока, грифель практически моментально превратится в алмаз. Конечно, такой метод можно опробовать в целях эксперимента, но всерьёз рассчитывать на получение искусственного алмаза не стоит.

Создание искусственных драгоценных камней

В отличие от алмазов, многие другие драгоценные камни можно вырастить дома. Для этого вам надо изготовить или купить аппарат Вернейля и запастись реагентами. Для создания искусственного рубина, например, пригодится соль двуокиси алюминия, имеющая незначительную примесь оксида хрома. Поместите её в накопитель горелки и расплавьте, наблюдая, как за несколько часов прямо на ваших глазах вырастет «рубин». Используя в качестве реагентов разные соли, вы сможете получить и другие виды драгоценных камней.

Выращивание кристаллов

Если вы рассматриваете возможность выращивания камней как интересный опыт, а не как способ обогащения, то можно пойти другим путём и вырастить не камни, а разноцветные кристаллы из соли, сахара или медного купороса.

Для выращивания солевых кристаллов сделайте насыщенный раствор, добавляя соль в стакан с тёплой дистиллированной водой до тех пор, пока она не перестанет растворяться. Для получения разноцветных кристаллов воду можно подкрашивать пищевым красителем. После этого подвесьте над стаканом на ниточке небольшой кристалл соли так, чтобы он был полностью погружён в раствор. Уже через несколько дней кристалл вырастет. Точно так же выращиваются кристаллы медного купороса.

По своим физическим свойствам и по химическому составу драгоценные камни, полученные синтетическим путем, практически не отличаются от натуральных. Далеко не все изделия, продающиеся в ювелирных магазинах, содержат натуральные камни. И это вполне нормально. Рассмотрим, как открыть свой бизнес на выращивании кристаллов рубина в домашних условиях.

Содержание статьи:

• Выращивание с использованием ограниченных солей
• Метод Огюста Вернейля
• Определяемся с конкуренцией в данной сфере
• Регистрируем домашнее производство
• Рекламные мероприятия
• Подробный метод выращивания кристаллов в домашних условиях!

Основная проблема заключается в том, что большая часть натуральных камней не обладает всеми необходимыми характеристиками, чтобы красоваться в ювелирном украшении. Камни, полученные в заводских или лабораторных условиях, имеют практически одинаковые характеристики. Кроме того, синтетическое производство драгоценности обходится дешевле, нежели добыча натурального в глубоких и опасных для жизни шахтах.

Выращивание с использованием ограниченных солей

Для данного метода подойдут алюмокалиевые квасцы. Дома лучше всего выращивать кристаллы из медного купороса. Они плохо растут из обычной соли. А вот медный купорос и купить легко, и з него растут очень красивые синие искусственные драгоценные камни.

1. Подготавливаем емкость. В ней будем делать насыщенный раствор соли. Насыпаем несколько столовых ложек соли, заливаем ее водой и размешиваем. Досыпаем соль, пока она не перестанет растворяться. Используйте горячую воду, чтобы не ошибиться с пропорциями. Есть кривые растворимости для разных солей. Они показывают, сколько граммов может раствориться в 100 мл воды при определенной температуре.

Кривые растворимости

2. Фильтруем раствор. Этот шаг очень важный, особенно если вы покупаете медный купорос в магазине для сада и огорода. Если раствор будет грязным, кристалл вырастет с дефектами. Оставляем раствор на сутки, чтобы из него выпали лишние кристаллы. Они оседают на дне стакана и служат нам затравкой (главным элементов, на котором будут наращиваться новые).

3. Привязываем кристалл к леске. Леску обматываем на карандаш и вешаем это приспособление на стакан с насыщенным раствором. С течением времени вода испаряется, насыщенность раствора увеличивается. Излишек вещества, которое не может раствориться, оседает на наше изделие.

4. Раз в две недели добавляем в стакан насыщенный раствор.

Важно! Добавляемый раствор должен быть такой же температуры, как и раствор, где растет кристалл. Если она будет высшей, можем все испортить.

5. Через три месяца вынимаем кристалл и высушиваем его салфеткой.

6. Покрываем изделие 1-2 слоями бесцветного лака для ногтей. Это необходимо, чтобы он не высыхал и не терял свой блеск. После высыхания изделие можно брать руками.

Вот какие замечательные рубины можно вырастить в домашних условиях!

Метод Огюста Вернейля

Для получения рубина в лабораторных условиях используется аппарат, изобретенный французским ученым Огюстом Вернейлем более 100 лет тому назад. В интернете можно найти информацию по методике выращивания рубина и более упрощенную аппаратуру французского ученого, которую можно использовать в домашних условиях. По методу Огюста Вернейля за 2-3 часа можно вырастить кристалл рубина, масса которого 20-30 каратов. Надо отметить, что данный метод распространяется также на производство топаза различных оттенков (желтого, голубого, белого и прозрачного).

Чертеж аппарата Вернейля

Чтобы получить изделие массой 30 каратов, понадобится 3 кВт*часа электроэнергии и 3 часа времени. В денежном эквиваленте это составит менее 1$. Для производства одного кристалла необходимо 0,2 г окиси хрома и 6 г порошка окиси алюминия, стоимость которых составит не более 0,50$.

Не нужно быть экономистом, чтобы понять, что при реализации даже необработанного кристалла ювелиру прибыль будет весьма солидной. Порадовав доморощенными топазами и рубинами свою жену, вы получите ни с чем несравнимые психологические «дивиденды».

Скачайте подробное описание метода Вернейля

Определяемся с конкуренцией в данной сфере

Зайдя в любой магазин, можно заметить, что цены на ювелирные изделия с камнями довольно высокие, несмотря на их синтетическое происхождение, следовательно, до насыщения рынка еще очень далеко. Маркетинговые исследования показывают, что в России вы не рискуете столкнуться с большой конкуренцией. Даже если подобным бизнесом займутся несколько тысяч предприимчивых людей, особых изменений в этот сегмент рынка они не внесут.

Регистрируем домашнее производство

Мы занимаемся выращиванием в домашних условиях. Не планируется создание лабораторных условий. Это простой мини-бизнес. Продажи будут осуществляться через сувенирные магазины, группы в социальных сетях. Можно создать свой сайт. Наши изделия будут покупать на подарки в качестве драгоценных сувениров. Для такого варианта достаточно зарегистрироваться как индивидуальный предприниматель.

Если планируете расширение бизнеса и открытие собственной лаборатории с целью дальнейших продаж искусственных рубинов в ювелирные заводы и магазины, открывайте общество с ограниченной ответственностью.

Рекламные мероприятия

Самый важный этап – найти способы реализации кристаллов. Как наладить рынок сбыта?

1. Обратитесь в рекламное агентство. Специалисты найдут способы, как заинтересовать потенциальных покупателей.

2. Создайте и продвигайте группу или страницу в соц. сети. Приглашайте в друзья, проявляйте активность в группах, где продают товары ручной работы. Дополнительно можно создать свой сайт.

3. Сделайте ставку на эксклюзивность. Можно попытаться договориться с сувенирными магазинами о поставках кристаллов. Раздавайте листовки в центре города. Рассказывайте о своем бизнесе друзьям.

Подробный метод выращивания кристаллов в домашних условиях!

А вот так выращивают синтетические алмазы в промышленных целях

Кристаллы – это твердые тела, молекулы либо атомы, которые образуют кристаллическую решетку. Вырастить их дозволено с подмогой процесса кристаллизации растворов, паров либо расплавов, тот, что начинается при определенных условиях , скажем, перенасыщении пара, переохлаждении жидкости.

Вам понадобится

• — дистиллированная либо кипяченая вода;
• — химическая посуда для приготовления раствора;
• — лабораторный фильтр, тот, что дозволено заменить промокашкой либо ватой;
• — чистый лист бумаги.

Инструкция

1. Для выращивания прекрасного кристалла верной формы, нужен чистый раствор. Дабы его приготовить понадобятся: дистиллированная либо кипяченая вода, химическая посуда для приготовления раствора, лабораторный фильтр, тот, что дозволено заменить промокашкой либо ватой, чистый лист бумаги.

2. Дабы кристалл подрос огромным и прекрасным, требуется много времени. Это трудный и долгий процесс, тот, что требует осторожности и терпения. Вначале нужно приготовить небольшой кристаллик – затравку. Как только появятся первые кристаллики нужно предпочесть из них те, которые имеют особенно верную форму либо которые огромнее каждого нравятся.

3. Химический стакан наполните наполовину теплой водой и добавьте малыми долями соль. Раствор перемешайте позже всякой доли вещества. Как только оно перестает растворяться, все еще раз скрупулезно размешайте. Приготовленный раствор отфильтруйте в иной стакан, где будет расти кристалл, и накройте его бумагой. Теснее через неделю кристалл приметно вырастет.

4. Следует присматривать за тем, дабы при испарении раствора верхняя часть кристалла не оказалась на воздухе. Это его испортит. Дабы такого не случилось, добавляйте раствор в емкость по мере необходимости.

Стопроцентную точную информацию касательно подлинности камня вам может предоставить экстраординарно эксперт, ведающий толк в своем деле. Но все же случаются обстановки, когда подлинность в ювелирном магазине вам неотложно необходимо определить самосильно. Без соответствующего оборудования совладать с этим вряд ли удастся, впрочем существуют некоторые тесты, которые помогут ввам по крайней мере, выделить дюже очевидные подделки. Такие тесты базируются на том, что реальные алмазы могут, как проводить тепло, так и «крушить» свет.

Инструкция

1. Если вы пытаетесь «проверить» камень без оправы, то испробуйте легко положить его на всякий напечатанный текст. Если это подлинно алмаз, то буквы через камень вы не увидите. Алмаз слишком мощно ломает свет, так что в качестве увеличительного стекла не годится. Но через другие, менее дорогие камни, символы будут чудесно просматриваются.

2. Если просветить камень источником света, схожим на светодиод, то в примитивных камнях вы увидите точку света на иной стороне камня. Если это подлинный алмаз, то вокруг обода камня будет отражаться только ясное гало.

3. Испробуйте подышать на камень и сразу же посмотрите, затуманивается ли камень. Все камни на миг затуманятся, а вот достоверный алмаз неизменно будет оставаться чистым. Учтите, что камень, тот, что именуется муссанит, такой тест также восхитительно выдерживает, следственно для исключения ошибки отменнее каждого отправиться к отменному ювелиру.

4. Разглядеть камень также нужно небывало наблюдательно. В настоящих алмазах могут просматриваться маленькие частички других минералов, которые вдавились в камень в процессе его образования. Впрочем никаких пузырьков в реальном камне быть не может.

5. Посмотрите на краю камня – если они закруглены либо изношены, то это стекло. Если камень дюже чистый, без вкраплений, то это также не алмаз, а, скорее каждого, легкой кварц.

6. Немаловажно понять и тот факт, что достоверный алмаз не может стоить дешево и ни в коем случае не поддаваться соблазну приобрести «подлинный» алмаз за смешные деньги. Как водится, алмаз в ювелирном изделии вставляется так, дабы его задняя часть была открытой и доступной к осмотру.

7. Не проверяйте алмаз царапаньем по стеклу: да, данный камень крепкий, но повредить его таким методом абсолютно дозволено. А вот неестественные камни, которые теперь абсолютно благополучно «выращивают» на производстве, отличить будет нелегко даже эксперту.

Видео по теме

Вероятно, особенно увлекательно в школе проходили уроки физики и химии, на которых демонстрировались разные навыки. Данная инструкция не только дозволит освежить вам базовые умения по этим предметам, но и в домашних условиях вырастить прекрасные кристаллы . Из них получатся хорошие сувениры.

Вам понадобится

• — соль,
• — вода,
• — стакан,
• — нитка,
• — лист бумаги.

Инструкция

1. Помните, что выращивание кристаллов – это долгий процесс. Запаситесь терпением и определитесь, к какой дате вы бы хотели получить кристалл. В среднем у вас уйдет две-три недели.

2. Решите, из какого вещества вы будете выращивать свой кристалл. Подойдут разные соли (в том числе, соли для ванн) и даже сахар. Солевые кристаллы класснее растут, получаются больше крепкими и различными по цвету, следственно именно о них и пойдет речь дальше. Так, из традиционной поваренной соли вы получите белые, прозрачные кристаллы , из медного купороса – сине-голубые, из меди – красные. Не применяйте разные неестественные красители – они замедлят реакцию, изменят цвет раствора, но не самого кристалла.

3. На первом этапе вашего эксперимента вы обязаны получить интенсивный раствор пищевой соли (NaCl). Для этого в довольно теплую воду (ок. 60°С) надобно высыпать соль и скрупулезно размешивать. Желанно применять дистиллированную воду (если вы выращиваете медный купорос – непременно). Когда соль перестанет растворяться и станет выпадать в осадок, значит, достигнута нужная насыщенность. На 100 г воды в среднем уходит 35-40 г соли. Процедите раствор, дабы избавиться от мусора и лишней соли.

4. Возьмите зародыш (затравку), т.е. большой кристаллик той соли, которую вы используете. Разместите его на дно стакана с интенсивным раствором либо закрепите на нитке и опустите в раствор. Зародышей дозволено брать несколько.

5. Закутайте вашу емкость во что-то теплое, дабы раствор неторопливей остывал, и накройте листом бумаги, дабы в воду не попадала пыль. Позже чего начинается 2-й, самый долгий этап в выращивании кристаллов – ожидание.

6. Если вы все сделали верно, то через 3-4 дня зародыш не растворится, а начнет медлительно расти. По мере испарения воды, кристалл будет возрастать в размерах. Контролируйте ярус жидкости. При необходимости раз в неделю-две доливайте новейший раствор. Растущий зародыш отличнее ненужный раз из раствора не доставать. При соблюдении всех этих правил через какое-то время вы получите прекрасный кристалл, тот, что станет странным украшением вашего дома либо красивым презентом для ваших знакомых.

Видео по теме

С тех давнишних времен, когда общество впервой узнало о существовании прозрачного бесцветного камня, не уступающего по своей твердости лишь закаленной стали, теснее много воды утекло. Но невзирая на это алмаз не утратил своей изначальной ценности, наоборот, о существовании этого драгоценного камня и его замечательной красоте сегодня знают фактически все. И правда алмаз имеет уйма граней, нарисовать данный завораживающий камень нетрудно.

Вам понадобится

• — персональный компьютер;
• — программа Photoshop.

Инструкция

1. Запустите на компьютере программу Photoshop и откройте новейший документ, установив следующие параметры: разрешение 350 х 350 пикселов и белый фон. Сейчас комбинацией клавиш «Shift+Ctrl+N» сделайте новейший слой и настройте на нем цвет переднего плана (ласково-голубой).

2. Нарисуйте фигуру четырехугольной формы (для этого потребуется перо — Pen Tool). По внешнему виду эта фигура напоминать должна силуэты грядущего алмаз а: острый угол внизу, два тупых угла слева и еще один противоположно расположенный им острый угол. Правой клавишей компьютерного манипулятора щелкните по полученной фигуре. После этого выберите опцию «образовать выделенную область» и установите параметры растушевки на 0 pxl, удостоверивши правильность своих действием нажатием «ОК».

3. С подмогой инструмента «Paint Bucket» исполните заливку фигуры цветом, тот, что был установлен для переднего плана.

4. Выделите прямоугольную область: одна сторона прямоугольника должна быть биссектрисой, выходящей из нижнего угла, а вторая, проходящая параллельно ей, должна проходить несколько правее правого угла фигуры. Обрежьте обведенную часть: нажмите DELETE либо залейте эту область белым цветом.

5. С подмогой сочетания клавиш «Ctrl+J» продублируйте слой, а после этого поверните его по горизонтали, исполнив следующую последовательность действий: Edit > Transform > Flip Horizontally.

6. Объедините два слоя путем нажатия «Ctrl+E». Начинает вырисовывать алмаз .

7. Для создания нового слоя нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+N. В его параметрах установите черный цветом переднего плана. После этого выделите нарисованный алмаз , позже чего перейдите в раздел «Редактирование» — «Исполнить обводку» и нажмите «ОК».

8. Сделайте новейший слой и с подмогой инструмента «Перо» нарисуйте двумя линиями горизонтальную рубеж, а позже залейте эту область черный цветом.

9. Сделайте новейший слой и, применяя «Перо», нарисуйте двумя линиями первую вертикальную рубеж. После этого, предпочтя «Образовать выделенную область», залейте черным цветом вертикальную рубеж. Подобно нарисуйте вторую вертикальную рубеж и выделите ее черным цветов.

10. Откройте новейший слой. Отредактируйте в нем параметры, установив белый цветом переднего плана. После этого возьмите кисть (параметры 200 px) и придайте алмаз у сияние.

11. Удалите белый слой и объедините все слои путем нажатия комбинации клавиш «Ctrl + Shift + E». Наш алмаз готов!

Видео по теме

Обратите внимание!

Непрерывно сберегайте внесенные метаморфозы!

Полезный совет

Несколько раз скопируйте нарисованный алмаз, непрерывно открывая новейший слой, и изменяйте размеры алмаза. Располагайте эти камни в различном месте и с разными углами наклона. Понемногу заполняя документ, дозволено нарисовать алмазный обои.

Алмаз – это дорогой камень, самый драгоценный из всех существующих. В природе он встречается как минерал, отличительным свойством которого является его исключительная твердость. Ювелирные украшения с алмазом были и остаются самыми желанными. Проверить подлинность этого камня может только эксперт по геммологии либо специалист в области ювелирного искусства. Впрочем если вам нужно купить алмаз без привлечения экспертов, примените несколько тестов для проверки его подлинности.

Инструкция

1. Опустите камень в чистую воду. С подмогой этого теста дозволено определить цельность алмаза. Если верхняя часть камня достоверная, а нижняя – это подделка, то в воде будет видно место стыковки этих частей.

2. Понаблюдайте за блеском алмаза. Он должен переливаться оттенками серого цвета. Если он сверкает всеми цветами радуги, то это камень низкого качества либо подделка.

3. Подышите на камень. Подлинный алмаз не помутнеет, а подделка на несколько секунд «затуманится».

4. Осмотрительно потрите алмаз наждачной бумагой. Если в процессе этого возникли царапины, то это подделка. Впрочем в состав такой бумаги не должна входить алмазная крошка, напротив дозволено испортить камень.

5. Проведите взвешивание камня. Цирконий, тот, что зачастую выдают за алмаз, значительно тяжелее драгоценного камня. Вы можете воспользоваться этим методом проверки при наличии у вас таблицы, в которой указано соответствие размера и веса в граммах либо каратах.

6. Если дорогой камень находится в оправе, то проверьте, насколько она соответствует рангу камня. Достоверный алмаз не устанавливают в недорогую оправу. На ней должно быть клеймо, указывающее на качество металла.

7. Вы можете также проверить подлинность камня в лабораторных условиях. Положите алмаз под ультрафиолетовое излучение. Яркое голубое свечение указывает на его качественность. В рентгеновских лучах реальные алмазы не видны. Материалы, из которых исполняют подделки, имеют некоторую степень непроницаемости для такого излучения.

8. Если вы не уверены, что даже с подмогой системы тестов можете отличить подлинный алмаз от неестественного, обратитесь к квалифицированному эксперту. Существуют разные способы идентификации естественных и неестественных камней, которые по химическому составу близки к природным.

Обратите внимание!

В процессе роста основного кристалла в растворе могут возникать и расти другие кристаллики, которые нужно удалять не реже раза в две недели.

Полезный совет

Фильтровать раствор отличнее каждого через лабораторный фильтр, но если его нет, то дозволено применять промокашку либо вату. Чем он плотнее, тем чище будет жидкость.

Алмазы привлекали человечество еще с давних времен. Необычайная красота этих камней стала причиной их использования для создания разных украшений. Однако позже люди выявили и другие полезные свойства алмазов – их уникальную прочность и твердость. Для обеспечения потребностей производства природа не создала много этого материала, поэтому у людей возникла идея – изготовлять алмазы искусственным путем.

Ценность алмазов

Алмаз считается уникальным камнем, обладающим редким сочетанием важных характеристик: сильная дисперсия, большая теплопроводность, твердость, оптическая прозрачность, износостойкость. Из-за своих физико-механических свойств алмазы высоко ценятся не только ювелирными экспертами, но и широко применяются в разных отраслях промышленности. Так, этот драгоценный камень используют в медицине, оптике и микроэлектронике.

Но в полной мере удовлетворить производственные потребности чистыми природными алмазами очень сложно и довольно дорого. По этой причине человечество начало задумываться над тем, как сделать искусственный алмаз. Синтетический камень должен был не только обладать важными свойствами настоящего алмаза, но и иметь более совершенную кристаллическую структуру, что очень важно для высокотехнологических областей.

Как возникли синтетические алмазы

Потребность в создании синтетического камня возникла очень давно. Но на практике осуществлена лишь в XX веке. До этого времени ученые не могли придумать технологии изготовления алмазов, хотя сумели установить, что они являются родственниками с обыкновенным углеродом. И через несколько десятков лет был создан первый синтетический алмаз, который получили из графита под воздействием высокой температуры и давления путем фазового перехода. Именно с этого момента началось производство искусственных алмазов, которые сегодня применяются во многих элементах разного оборудования и инструментах.

Технологии производства алмазов

В наше время для получения синтетического камня используют несколько технологий, каждая из которых имеет свои особенности. Самая надежная, но наиболее дорогостоящая технология заключается в производстве алмаза из кристаллического углерода, который помещают для обработки в специальный пресс. Сначала на обрабатываемый материал мощными насосами подается вода. Таким образом создается высокое давление. Затем вода замерзает под действием хладагента, в результате чего давление увеличивается до 10 раз. На последнем этапе камера, в которой находится углерод, подключается к электрическим шинам и подается на несколько долей секунды мощный ток. Под одновременным воздействием температуры и давления происходит преобразования графита в твердый камень. После этой фазы пресс размораживают, сливают жидкость и достают готовый искусственный алмаз.

Выращивание алмаза метаном

Еще используют более простую технологию производства синтетического камня – метод взрыва, который позволяет нарастить искусственный кристалл под действием метана. Очень часто производство искусственных алмазов происходит по двум технологиям. Дело в том, что в первом случае удается получить наивысший процентный выход алмазов, но они будут очень маленькими. Вторая технология позволяет существенно нарастить полученный синтетический камень с помощью обдувания метаном под воздействием температуры около 1100 ºС. Метод взрыва дает возможность получить искусственный алмаз любой величины.

Виды искусственных алмазов

В наше время производят много разновидностей синтетических алмазов: фианит, муассанит, страз, сегнетоэлектрик, рутил, фабулит, церуссит. Наиболее совершенной подделкой алмаза считается фианит, или кубик циркония. Он являет собой диоксид циркония. Поэтому многим неоднократно приходилось слышать, как называется искусственный алмаз цирконом. Хотя он не имеет никакого отношения к натуральному дорогостоящему камню.

Фианит характеризуется большой твердостью, высокой степенью дисперсии и преломления. Благодаря своим свойствам этот камень отлично имитирует настоящий алмаз и широко используется в ювелирной промышленности. Даже эксперты невооруженным глазом практически не могут отличить подделку от оригинала, поскольку они играют одинаково.

Самым качественным аналогом алмаза считается муассанит. У него такие же физические свойства, как у натурального камня, а по оптическим показателям он даже лучше. Единственный его недостаток – он уступает в твердости.

Особой популярностью пользуются стразы, изготовленные из свинцового стекла, состоящего из окиси свинца. Благодаря своему составу эти камни потрясающе играют на свету и имеют блеск, идентичный блеску алмазов.

Где применяются синтетические алмазы

Искусственный алмаз широко используется ювелирными заводами для изготовления роскошных украшений, которые не только выглядят красиво, но и весьма доступны по цене. Изделия с поддельными камнями смотрятся не хуже и отлично носятся.

Также выращивание искусственных алмазов является неотъемлемой частью современной промышленности. На их основе производятся сверхпрочные инструменты: шлифовальные круги, алмазные пилы, полирующие диски, долота, сверла, скальпели, ножи, разные резцы и пинцеты. Техника и оборудование, изготовленные из алмазного материала, позволяют обрабатывать наиболее прочные сплавы и сырье. Кроме того, алмаз обеспечивает максимальную точность в машинах и приборах.

Как создать искусственный алмаз в домашних условиях

Некоторые эксперты утверждают, что вырастить синтетический алмаз возможно в домашних условиях. Но самостоятельное изготовление искусственных алмазов потребует немало усилий и затрат времени. Мы расскажем, как вырастить минерал из соли, внешне отдаленно напоминающий алмаз.

Итак, для создания такого камня понадобится кипяченая вода, поваренная соль, химическая посуда, чистый лист бумаги и лабораторный фильтр. Сначала следует приготовить маленький кристалл. Для этого нужно наполнить химический стакан на 1/5 часть солью, залить наполовину теплой водой и перемешать. Если она растворилась, значит, нужно досыпать еще немного. Соль нужно добавлять до тех пор, пока она не перестанет растворяться. Затем раствор профильтровать в другую посуду, в которой и будет расти камень, и накрыть бумагой. Все время нужно контролировать уровень раствора. Камень не должен оказаться в воздухе. Если раствор испарился, нужно приготовить новый и долить.

Люди, которые делали такие опыты, утверждают, что на протяжении недели домашний алмаз искусственный должен заметно подрасти.

Стоимость искусственного алмаза

В современном мире синтетические камни заняли отдельный сегмент рынка ювелирных украшений. Получение искусственных алмазов постоянно усовершенствуется. Ученые изобретают новые камни, которые мгновенно получают массовую популярность, а более старые утрачивают спрос и постепенно исчезают с рынка. Например, в середине XX века для имитации алмазов в украшения вставляли искусственный рутил. Затем его заменили на фианит. А в 90-х гг. все предыдущие имитации бриллианта вытеснил муассанит.

Цены на искусственный алмаз зависят от размера, огранки и технологии производства. Многие люди ошибочно считают, что синтетические камни – это обычное стекло, и не видят в них никакой ценности. Но на самом деле такие алмазы часто стоят немалых денег, а некоторые из них являются довольно редкими. Так, иные разновидности искусственного алмаза могут стоить больше, чем природные аналоги.

Среди синтетических алмазов наиболее популярными считаются фианиты разного цвета. Их средняя стоимость за карат в ограненном виде колеблется от 1 до 5 долларов США. А известный алмазный аналог муассанит стоит намного дороже – 70–150 долларов США за карат.

Значимым факторов формирования цены на камни является цвет. Так, стоимость алмаза желтого цвета составляет 40–50 долларов за 0,2 карата, но за камень оранжево-розовой окраски в зависимости от размера придется заплатить около 3000 долларов.

Мировые лидеры

В течение последних лет мировыми лидерами по производству синтетических камней считаются Китай, Япония, США и Россия. Наиболее активно развивает это направление Китай, постоянно изобретая новые технологии синтеза.

Оригинальные рисунки по клеткам.

Как рисовать легко поэтапно и по клеточкам?

Используя несложную технику поэтапного рисования, даже начинающие художники смогут нарисовать красивые фигурки животных. Вот как можно нарисовать веселого щенка.

А так с помощью геометрических фигур можно нарисовать корову.

Курочку, которая сидит на яйцах начинают рисовать с круга. Постепенно дорисовывают клюв, глаза, крылья и хвост.

А после того, как курица высидела яйца, можно нарисовать и цыплят.

Нарисовать летучую мышь на первый взгляд кажется сложно, но если использовать технику поэтапного рисования, то эта симпатичная летучая мышь появится в вашем альбоме уже через 5 минут. Тоже два круга, но больший внизу, а меньший вверху помогут нарисовать кошку.

Птиц рисовать сложно, а нарисовать попугая еще сложнее. Но три круга одинакового размера помогут справиться с этим заданием.

А так можно нарисовать мышку.

Очень симпатичная Леди-кошка нарисована карандашом, вспомогательные линии аккуратно удаляются и кошка раскрашивается акварельными красками.

Рисунок слона и лошади смогут нарисовать все, кто умеет рисовать круги, овалы и прямоугольники.

Нелегкая задача нарисовать верблюда только кажется сложной. Но в технике поэтапного рисования ничего не возможного нет.

Домашние животные овца и свинья рисуются немножко по-разному. У свиньи сначала рисуют морду, а потом туловище. У овцы наоборот сначала туловище и в конце морду.

Не летающая птица холодных морей пингвин и лесная птица сова нарисованы поэтапно и раскрашены акварельными красками.

Рисунок улитки сделать несложно, если нарисовать круг, затем пририсовать тело улитки и дорисовать завиток на раковине, глаза и усики.

Чтобы нарисовать утенка достаточно к кругу пририсовать овал и дорисовать хвостик, клюв и глазки и крылья.

А так можно нарисовать малышей.

Бывает, что девочки рисуют в альбомах, но не знают, как красиво нарисовать лицо. На помощь придет несложная схема, где соблюдены правильные пропорции лица.

Можно долго не ломать голову, какую прическу нарисовать девочке в дневнике, а просто выбрать понравившуюся и нарисовать такую же.

Цветы в альбомы тоже можно рисовать поэтапно. Чтобы цветок имел правильную форму достаточно сделать круг или овал и дорисовать центр и лепестки.

Красивые и легкие рисунки по клеточкам для срисовки в тетради и личном дневнике для девочек 5 – 12 лет

Легче всего рисовать по клеточкам. Конечно, в том случае, если у вас есть имеется расчерченный рисунок. Вот такие милые котята могут появиться в дневнике, если срисовать их по клеточкам.

Для страничек в дневнике о любви подойдет рисунок с мальчиком и девочкой, которые обмениваются сердцами.

Еще один рисунок на тему любви несложен для перерисовывания, но очень интересен.

Мишка, который держит сердце, украсит странички дневника девочек, а клеточки помогут его нарисовать.

Улыбающаяся собака в цветах подойдет для тех, кто любит общаться с собаками и их рисовать.

Рисунки девочек в стиле аниме украсят странички дневника. Их несложно перерисовать по клеточкам и раскрасить акварельными красками или фломастерами.

Рисунок посложнее с девочкой, бабочкой и клубникой. Тем не менее, если внимательно считать клеточки и по ним рисовать, успех гарантирован.

Портрет девочки в стиле аниме в профиль тоже подойдет для дневников девочек. Рисунок переносят по клеточкам, цвет прически и глаз нарисованной девочки зависит от пожеланий хозяйки дневника.

Мишка-мальчик и мишка-девочка напомнят о том, что дружба бывает как между зверятами, так и между ребятами.

Красивые и легкие рисунки по клеточкам для срисовки в тетради и личном дневнике для мальчиков 5 – 12 лет

Котов любят рисовать как мальчики, так девочки. Такой веселый кот появится в альбоме или тетради, если его срисовать по клеточкам.

Мальчики любят рисовать мотоциклы. Пусть мотоцикла у них еще нет в реальной жизни, но его всегда можно нарисовать по клеточкам.

Космическая тема тоже актуальна для рисунков мальчиков и кот-космонавт возможно придется им по душе.

Рисунки по клеточкам красивые и легкие для девочек и мальчиков: идеи, фото

Лев с красной гривой, нарисованный по клеточкам своей огненной гривой украсит любой дневник.

По клеточкам можно нарисовать целую картину. На ней в густых зарослях сидят лев, зебра, жираф, слон и бегемот.

Этих зверей можно нарисовать по отдельности.

Жираф не менее красивый и нарисовать его тоже будет легко.

Голубой слон пригодится для рисунков про зоопарк или Африку.

А так можно нарисовать и раскрасить бабочку. Она может украсить альбомы девочек.

Если дорисовать пруд и камыши, то получится картина с веселыми лягушатами в центре.

Лисенок, нарисованный по клеточкам может быть нарисован на сказочных картинках или можно добавить цветы и траву и украсить такой картинкой дневник.

Пчела с вишней для тех, кто любит вишни и пчелиный мед.

А такое дерево с цветами и птицами можно нарисовать на весь тетрадный листик.

Веселая стрекоза удивит яркими крыльями.

Стрекоза для срисовки по клеточкам

Далеко не все люди посещали художественную школу, а рисовать хочется многим, особенно детям. Учеными доказано, что такая созидательная деятельность снимает стресс, разрабатывает мелкую моторику и развивает фантазию. В таком случае можно освоить простую технику рисования по квадратикам. В ее основе лежат японские кроссворды и схемы вышивки крестиком. В этой статье мы поговорим о том, как рисовать в тетради в клеточку.

Откуда взялась сама идея рисования по клеткам? Люди, детство которых пришлось на 80-90-е годы, скорее всего, увлекались видеоиграми, построенными на пиксельной (точечной) графике: «Доктор Марио», «Танки», Pacman, Donkey Kong. Многие из них знакомы и современным детям, но знают ли они, что Марио не всегда был объемным? Итак, давайте разберемся, как рисовать в тетради в клеточку.

Что пригодится для рисования?

Для работы может понадобиться:

• лист бумаги в клетку;
• простой карандаш;
• фломастеры;
• маркеры;
• мелки;
• линейка.

Как рисовать по клеточкам в тетради красиво

Взрослые часто разгадывают японские кроссворды. Если в доме есть уже заполненные ребусы, просто скопируйте их в тетрадь и раскрасьте. Этот способ подойдет для тех, кто только разбирается с тем, как рисовать в тетради в клеточку.

Можно воспользоваться специальными шаблонами. Готовые схемы помогут тем, кто является новичком в этом направлении рисунка. В первую очередь копируйте и раскрашивайте шаблоны. Позже вы обязательно научитесь рисовать самостоятельно.

Идеи

Забавно смотрятся фрукты, нарисованные по клеткам, пирожные, кексы, мороженое. Изображать их не слишком сложно, поскольку здесь минимум деталей. Со временем вы научитесь делать их объемными и расставлять акценты в виде теней на объекте рисования. Немного сложнее изображать животных. Модный объект для рисования по клеткам — кот Саймон из одноименного мультика. Дети также любят рисовать пингвинов, медвежат, кошечку Китти, птиц из мультика «Энгри Бердс», миньонов, сов. Подростки часто создают сложные 3D-рисунки в готическом стиле. Очень красиво смотрятся мандалы с огромным количеством оттенков, переходящих из одного в другой. Для такого рисунка потребуется художественный талант и хорошее чувство цвета. Тренируйтесь и развивайте его в себе!

Как придумать и воплотить собственный рисунок?

Это задание сложнее. Оно подойдет тем, кто хоть немного знает, как рисовать в тетради в клеточку, и имеет хотя бы небольшие художественные навыки. Сделайте рисунок на обычной нелинованной бумаге. Это может быть что угодно. Начинайте с простых объектов. Со временем вы сможете усложнить себе задачу, используя больше мелких деталей и разных оттенков при раскрашивании.

Рисовать по клеточкам начинайте с контура. Позже перейдите к детализации. В процессе отмечайте, какая деталь каким цветом будет раскрашена. Так будет легче не запутаться. Таким образом, девочки могут научиться создавать собственные узоры для вышивки крестом.

Как рисовать узоры по клеточкам в тетради?

Можно пойти другим путем и учиться рисовать, повторяя сложные схемы для вышивки. Таким образом вы научитесь вычленять множество деталей, различать сложные оттенки. 3D (объемные) рисунки по клеточкам — это высший пилотаж в этом деле. Вы можете научиться изображать сложные геометрические фигуры, узоры, создавать собственными руками постеры для украшения своей комнаты.

Сложные рисунки по клеткам

Вы, наверное, удивитесь, когда узнаете, что нарисовать по клеткам можно даже портрет по фотографии. Для этого понадобится компьютер с программой Adobe Photoshop. Откройте редактор и загрузите в него свое фото. В верхнем ряду найдите кнопку «Фильтр». Нажмите на нее. Выберите из меню «Галерея фильтров». Откроется окно, в котором нужно нажать на кнопку «Цветная плитка». Справа находятся ползунки. Их нужно отрегулировать таким образом: размер квадратов — 10, рельеф — 0. Затем нажимаем ОК.

Фото будет разбито на клетки. Сохраните его. Теперь можно упражняться в сложном рисунке с большим количеством оттенков. Когда вы профессионально овладеете этим навыком, то сможете рисовать лица людей, изображать изгибы тела с помощью правильно нанесенных теней, создавать необычные шрифты. Такие навыки пригодятся тем, кто в будущем хочет освоить работу дизайнера.

Узнав, как рисовать рисунки по клеточкам в тетради, и отработав навыки, можно наполнять ими личный дневник. Дети и подростки в школе и в социальных сетях устраивают соревнования (батлы), которые называются «Срисуй-ка». Такие навыки помогают развивать образное и пространственное мышление.

4.9 (97.22%) 72 votes

Рисунки по клеточкам или пиксель арт очень популярный вид искусства у школьников и студентов. На нудных лекциях рисунки по клеточкам спасают от скуки.Прототипом рисования по клеткам послужило вышивание крестиком, где на канве, ткани размеченной клеточками, наносили рисунок крестиком. Все мы были когда-то студентами и школьниками и рисовали от скуки разные картинки в клеточках, каково же было мое удивление, когда я узнал, что это практически искусство со своими шедеврами и гениями. Я стал изучать вопрос подробнее и вот что из этого вышло…

На чем рисовать рисунки по клеточкам

Это искусство доступно любому, главное следовать четко по клеточкам. Для нанесения изображения идеально подходят школьные тетради, размер их квадратиков 5х5 мм, а самой тетради 205 мм на 165 мм. На данный момент у художников по клеточкам набирают популярность пружинные тетради-блокноты с листом формата А4, размер этого блокнота 280мм на 205мм.

Профессиональные художники творят свои шедевры на миллиметровках (чертежной бумаге), вот уж где места разгуляться. Единственный минус миллиметровой бумаги её бледно зеленый цвет, который не заметен, когда вы зарисовываете цветными ручками.
Выбрав тетрадь для рисования, обратите внимание на плотность бумаги, от её плотности зависит качество вашего рисунка по клеточкам, будет ли он проступать на изнаночную сторону листа. Идеальная плотность листа не меньше 50г/метр.кв.

Чем рисовать рисунки по клеточкам

Для раскрашивания рисунков по клеточкам не нужны никакие специальные инструменты, подойдут любые карандаши и ручки. Монохромные картины это очень здорово, но так хочется добавить в жизни красок. Для того, чтоб краски стали разнообразными, зайдите в канцелярский магазин и выбирайте все что душе угодно, гелевые ручки, масляные, шариковые.

Шариковые ручки для пиксель арт

Фломастеры для рисунков по клеточкам

Если же вы любите рисовать фломастерами, ваше право, расцветка фломастеров очень богата. Стоит помнить, что фломастеры делятся на две группы: спиртовые и водные, водные безопасней, но они могут размочить бумагу. Спиртовые также могут размачивать бумагу, еще и запах сильно на любителя.

Карандаши для рисунков по клеточкам

Карандаши, еще один из видов зарисовывающих приспособлений. Карандаши не исключение в разнообразии видов, они бывают пластиковыми, восковыми, деревянными и акварельными. Деревянными мы рисуем с раннего детства, и знаем, что они часто ломают грифель. Пластиковые и восковые ломаются реже, но они более толстые, что будет менее удобно в рисовании. Об акварельных карандашах не может быть и речи, так как после закрашивания карандашом нужно покрывать рисунок увлажненной кисточкой, а это недопустимо для тетрадных листов.

Посмотрите видео о том, как просто рисовать рисунки по клеточкам и как красиво может быть в результате:

Еще несколько схем рисунков, которые мне понравились:

Точечная графика — технология пиксель арт

В том, какие нужны принадлежности, мы разобрались, теперь познакомимся с технологией. Технология пиксель арта очень проста, это точечная графика.

Перед тем, как приступить к рассмотрению способов пиксель арта, вернемся в детство 80х -90х годов. Конечно, те, кто рос в постсоветское время, помнит 8-ми битные видеоигры, игровая графика, которых, построена на пиксельной графике.

Лучший способ освоить, что-либо это практика, давайте попробуем освоить пиксель арт:

Возьмем черную и красную масляную ручку, и тетрадный лист в клеточку.

Для начала сделаем простенький рисунок. Посчитаем клетки, определим контур и разукрасим согласно цветам.

К примеру, нарисуем сердечко:

Если вам кажется, что большие и объемные картинки не для вас, стоит попробовать нарисовать фотографию из интернета. Испугались? Не стоит.

Возьмите

• черную ручку,
• карандаши,
• тетрадь в клеточку,
• компьютер,
• фотографию или картинку из интернета
• программу фотошоп.

Для нанесения объемных рисунков нам нужно посчитать количество клеток, которые будут закрашены. Довольно трудно не ошибиться на больших количествах. Еще обязательно подберите оттенки цветов схожие с исходным изображением.
Итак, действуем:

Дам один совет, который очень мне помогает, если у вас есть цветной принтер, распечатайте рисунок, если нет, не страшно. Прочертите сетку по 10 клеток более жирным контуром. На напечатанном листе с помощью линейки и контрастной ручки, если распечатать негде, то можно открыть изображение в Paint.
Творческих вам успехов.

Рисунки по клеточкам — хороший способ интересно скоротать свободное время. Это не только увлекательно, но и полезно. Рисование по клеткам развивает творческое мышление, улучшает координацию, имеет успокаивающее действите на нервную систему. Рисуйте в удовольствие!

Рисунки по клеточкам

Чёрный кот / Black cat:

Пандочка / Panda:

Три яблока / Three apples:

Муравей / Ant:

Божья коровка / Ladybug:

Ангел-солнышко / Angel sun:

Сердечко и нота / Heart and note:

Сердечко / Heart:

Лёгкие — Цветок / Flower:

Зелёное яблоко / Green apple:

Черепок / Skull:

Лицо / Face:

Герой мультфильма / Cartoon Hero:

Сложные — Винни-Пух / Winnie Pooh:

Андроид / Android:

Бант / Bow:

Печаль / Sadness:

Медвежонок в цвете / Bear in color:

Схемы — Ёлочка / Spruce:

Девушка / Girl:

Птица-персонаж / Hungry bird:

Любовь / Love:

Картинки — Симпсон / Simpson:

Мегги Симпсон / Maggie Simpson:

Девушка / Girl:

Маша / Masha:

Девушка-блондинка / Blonde girl:

Для девочек — Гам-ган стайл / Dandam style psy:

Я люблю шоколад / I like chocolate:

Рисунки по клеточкам для начинающих

Супермен / Superman:

Метал / Metal:

Печалька / Sadness:

Для начинающих — Тучка / Cloud:

Гитара / Guitar:

Маленькие рисунки по клеточкам

Из мультфильма / From cartoon:

Солнышко / Sun:

Маленькие — Мороженое / Ice cream:

Голодная птичка / Hungry bird:

Голодная птичка 2 / Hungry bird 2:

Видео с рисунками по клеткам — обязательно посмотрите это видео!!

Красивые рисунки по клеточкам

Влюблённый парень / Boy in love:

Супер Марио / Super Mario:

Лучшие друзья:

Красивые — Снеговик / Snowman:

AC/DC:

Флаг Америки / American Flag:

Сердечка / Hearts:

Красное яблоко / Red apple:

Вшоке / Vshoke:

Рисунки по клеточкам — прекрасный способ увлечь себя во время скуки. Рисовать легко и просто — нужно всего лишь следовать за уже готовой геометрией тетради — небольшими квадратиками. Размеры квадратиков очень удобны — пять на пять миллиметров. Для рисования прекрасно подходят обычные школьные тетради форм-фактора 205мм*165мм (высота — двадцать сантиметров и пять миллиметров, ширина — шестнадцать сантиметров и пять миллиметров). В таких тетрадках в вашем распоряжении для творчества будет доступно 1353 квадрата (одна тысяча триста пятьдесят три). Но это ещё не все! В последнее время стали популярными так называемые студенческие форматы тетрадей — по форм-фаткору они имеют больший размер который почти равен альбомному листу А4. Точные размеры такой студенческой тетради — двадцать восемь сантиметров в высоту и двадцать сантиметров пять миллиметров в ширину! Соответственно площадь полотна равна пятьсот семьдесят четыре сантиметра или две тысячи двести девяносто шесть квадратиков для рисования! Если же вам и этого мало — можете выйти на профессиональный уровень. Поясню что я имею ввиду: существуют намного большие полотна для рисования по клеточкам — это так называемые миллиметровки. Миллиметровка — или ещё как её называют, «масштабно-координатная чертёжная бумага» — это профессиональная профильная бумага для построения точных графиков, карт, черчения деталей. Условное сечение миллиметровки — один миллиметр! Есть также линии обозначающие стороны квадрата в пять миллиметров и один сантиметр, они выделяются на общем фоне толщиной линии. Небольшим недостатком миллиметровочной бумаги можно считать то что она имеет как правило не белый цвет — а зеленоватый или красноватый. Тем не менее при раскрашивании цветными ручками это не будет проблемой — всё и так будет в цвете. Одним словом, если вы заядлый фанат рисования по клеткам — миллиметровка будет для вас настоящим открытием. Это уже практически рисование по пикселях! Выбрав формат тетрадного листа для рисования, следует позаботиться также и о других физических характеристиках бумаги.

Среди них самыми важными являются два показателя — плотность и белизна. Плотность например, напрямую влияет на то, будет ли просвечиваться рисунок или нет. Согласитесь, просветы — это не очень хорошо. Так вот — оптимальная плотность бумаги в тетради для рисования — пятьдесят пять грамм на квадратный метр (не меньше), если больше — это только на пользу. Белизна, это говоря простыми словами — оттенок белого цвета. Оптимальная белизна бумаги — восемьдесят два — девяносто шесть процентов. Тут также следует понимать — слишком белая — это не хорошо, слишком тёмная — тоже плохо. Тем не менее переживать за это не следует, ибо производители в своём большинстве делают тетради именно в диапазоне 82-96 процентов, как это заложено в государственные стандарты по изготовлению тетрадей.

Чем закрашивать клетки? Как правило раскрашивают тем что есть под рукой — чаще всего это простая шариковая ручка синего цвета, или карандашы — серого цвета. Но согласитесь, двумя цветами раскрашивать не очень прикольно! Тут на помощь нам приходит широкий спектр цветных ручек, карандашей, фломастеров, мелков. Купить их можно в любом отделе канцелярии, цены — довольно разные и зависят от производителя, количества цветов, бренда, качества. В любом случае выбор очень широк и вы обязательно найдёте что-нибудь для себя! Какие цветные ручки лучшие для творчества — обычные шариковые, гелевые, капилярные или же масляные? На наше твёрдое убеждение, для рисования по квадратикам лучше использовать шариковые или масляные ручки. Гелевые конечно очень яркие, но имеют большой недостаток — они размазываются по бумаге, что в итоге может испортить весь рисунок. Капилярные ручки очень похожи на фломастеры — они тоже яркие, но имеют другой недостаток — их чернило очень крепкое и часто пропитывает лист бумаги. Если есть возможность — надо покупать масляные ручки. Они не размазываются, не пачкают руки, очень гладко скользят по бумаге. Идеальный вариан для рисования по клеткам! Если же вы фанат фломастеров, то также знайте — они делятся на два больших подвида: на водной основе и на спиртовой основе. Больше распространены фломастеры на водной основе — и не безосновательно, ведь они более безопасны. Также у такого типа фломастеров очень большой выбор цветов. Из недостатков — они могут промокать бумагу. Так что это не лучший вариант для рисования. Другой тип — спиртовые фломастеры. Сразу перейдя к недостаткам, отметим что они также могут просвечивать бумагу и к тому же имеют очень резкий спиртовый запах. Сомневаюсь что это вам понравиться! Третий инструмент для раскрашивания — карандаши. На сегодняшний день они делятся на четыре больших вида — деревянные цветные карандаши, акварельные, восковые и пластиковые. Деревянные карандаши знакомы всем нам ещё с детства, они хорошо подходят для рисования по клеточкам, но имеют один большой недостаток — часто ломаются. Не имеют этой проблемы другие два вида — восковые и пластиковые, но ихние контуры более толстые, что не очень хорошо для рисования по изящным квадратикам. И наконец акварельные карандаши — самый новый тренд. Их особенность — сначала рисовать нужно карандашом, а потом проявлять рисунок мокрой кисточкой. При всех преимуществах акварельных карандашей, использовать их для рисования по клетках не рекомендуем — будут промокания и просветы. Таким образом можно сделать небольшой вывод — лучше всего рисовать по квадратиках масляными ручками! Какие марки ручек, карандашей и фломастеров рекомендуется покупать? Итак, небольшой рейтинг: Ручки — BIC Cristal, BIC Декор, BIC Orange, BIC 4 COLORS FASHION. Карандаши — Koh-i-Noor, DERWENT, DALER ROWNEY, Faber Castell. Фломастеры — Crayola, RenArt, Centropen. Мелки — Rowney Perfix, Blair No Odor Spray Fix, Melissa & Doug, Kite, Радуга.

Приятного творчества!

Картинки по клеточкам помогут ребенку научиться красиво рисовать. Это упражнение развивает логику и учит терпению. Творческое мышление начинает работать на полную катушку, да и память становится намного лучше. Кстати, маленькие дети обожают рисовать именно в тетрадях в клеточку, ведь там можно рисовать палочки и обводить сколько душе угодно! Такие картинки бывают и для совсем маленьких детей, и для более старших, и даже для взрослых. У всех у них разные уровни сложности и цветовая гамма, поэтому скучно при этом занятии точно не будет.

Рисовать прекрасные картинки может каждый, ведь для этого только нужно считать клеточки, и повторять рисунок в точности. Все обязательно получится, нужно только немного старания и терпения. Кстати, это очень увлекательное занятие, ведь оно похоже на какую-то сложную головоломку! Главное взять образец рисунка, тетрадь в клеточку или лист, и карандаши или фломастеры. То, что получится в результате, зависит только от Вашего старания и внимания.

Картинки по клеточкам считаются самым доступным и простым видом творчества. Можно в любой момент заняться этим чудесным делом, ведь все необходимые для этого предметы всегда есть у каждого в доме. Главное использовать фантазию и выбрать самую красивую картинку. И тогда в Ваших руках самый обыкновенный белый лист превратиться в необычайной красоты животное или чудесный пейзаж, который мы иногда наблюдаем только по телевизору. Все это сможете сделать Вы и Ваш ребенок, только посмотрев на картинки, которые находятся в данном разделе.

Смело предлагайте ребенку нарисовать зверей и персонажей по клеточкам, обвести цветными ручками и раскрасить. Все это считается прекрасной подготовкой к начальной школе и развивает моторику рук. Когда ребенок займется рисованием по клеточкам, то он не сможет оторваться от этого. Большинство детей проводят за творчеством не меньше часа, да и у родителей появится немного свободного времени для отдыха.

В нашем разделе собраны самые красивые и интересные картинки по клеточкам, которые нарисовать совершенно несложно. Если Вы решили просто прийти в себя после тяжелого трудового дня, то рисование поможет привести нервы в порядок и расслабиться. У нас есть картинки самых известных персонажей и просто потрясающе красивые предметы, которые захочет нарисовать каждый! Удачного творчества, ведь рисовать нравится каждому!

Как рисовать по клеточкам новые рисунки маленькие. Идеи украшения тетрадей в клеточку

Рисунки по клеточкам — хороший способ интересно скоротать свободное время. Это не только увлекательно, но и полезно. Рисование по клеткам развивает творческое мышление, улучшает координацию, имеет успокаивающее действите на нервную систему. Рисуйте в удовольствие!

Рисунки по клеточкам

Чёрный кот / Black cat:

Пандочка / Panda:

Три яблока / Three apples:

Муравей / Ant:

Божья коровка / Ladybug:

Ангел-солнышко / Angel sun:

Сердечко и нота / Heart and note:

Сердечко / Heart:

Лёгкие — Цветок / Flower:

Зелёное яблоко / Green apple:

Черепок / Skull:

Лицо / Face:

Герой мультфильма / Cartoon Hero:

Сложные — Винни-Пух / Winnie Pooh:

Андроид / Android:

Бант / Bow:

Печаль / Sadness:

Медвежонок в цвете / Bear in color:

Схемы — Ёлочка / Spruce:

Девушка / Girl:

Птица-персонаж / Hungry bird:

Любовь / Love:

Картинки — Симпсон / Simpson:

Мегги Симпсон / Maggie Simpson:

Девушка / Girl:

Маша / Masha:

Девушка-блондинка / Blonde girl:

Для девочек — Гам-ган стайл / Dandam style psy:

Я люблю шоколад / I like chocolate:

Рисунки по клеточкам для начинающих

Супермен / Superman:

Метал / Metal:

Печалька / Sadness:

Для начинающих — Тучка / Cloud:

Гитара / Guitar:

Маленькие рисунки по клеточкам

Из мультфильма / From cartoon:

Солнышко / Sun:

Маленькие — Мороженое / Ice cream:

Голодная птичка / Hungry bird:

Голодная птичка 2 / Hungry bird 2:

Видео с рисунками по клеткам — обязательно посмотрите это видео!!

Красивые рисунки по клеточкам

Влюблённый парень / Boy in love:

Супер Марио / Super Mario:

Лучшие друзья:

Красивые — Снеговик / Snowman:

AC/DC:

Флаг Америки / American Flag:

Сердечка / Hearts:

Красное яблоко / Red apple:

Вшоке / Vshoke:

Рисунки по клеточкам — прекрасный способ увлечь себя во время скуки. Рисовать легко и просто — нужно всего лишь следовать за уже готовой геометрией тетради — небольшими квадратиками. Размеры квадратиков очень удобны — пять на пять миллиметров. Для рисования прекрасно подходят обычные школьные тетради форм-фактора 205мм*165мм (высота — двадцать сантиметров и пять миллиметров, ширина — шестнадцать сантиметров и пять миллиметров). В таких тетрадках в вашем распоряжении для творчества будет доступно 1353 квадрата (одна тысяча триста пятьдесят три). Но это ещё не все! В последнее время стали популярными так называемые студенческие форматы тетрадей — по форм-фаткору они имеют больший размер который почти равен альбомному листу А4. Точные размеры такой студенческой тетради — двадцать восемь сантиметров в высоту и двадцать сантиметров пять миллиметров в ширину! Соответственно площадь полотна равна пятьсот семьдесят четыре сантиметра или две тысячи двести девяносто шесть квадратиков для рисования! Если же вам и этого мало — можете выйти на профессиональный уровень. Поясню что я имею ввиду: существуют намного большие полотна для рисования по клеточкам — это так называемые миллиметровки. Миллиметровка — или ещё как её называют, «масштабно-координатная чертёжная бумага» — это профессиональная профильная бумага для построения точных графиков, карт, черчения деталей. Условное сечение миллиметровки — один миллиметр! Есть также линии обозначающие стороны квадрата в пять миллиметров и один сантиметр, они выделяются на общем фоне толщиной линии. Небольшим недостатком миллиметровочной бумаги можно считать то что она имеет как правило не белый цвет — а зеленоватый или красноватый. Тем не менее при раскрашивании цветными ручками это не будет проблемой — всё и так будет в цвете. Одним словом, если вы заядлый фанат рисования по клеткам — миллиметровка будет для вас настоящим открытием. Это уже практически рисование по пикселях! Выбрав формат тетрадного листа для рисования, следует позаботиться также и о других физических характеристиках бумаги.

Среди них самыми важными являются два показателя — плотность и белизна. Плотность например, напрямую влияет на то, будет ли просвечиваться рисунок или нет. Согласитесь, просветы — это не очень хорошо. Так вот — оптимальная плотность бумаги в тетради для рисования — пятьдесят пять грамм на квадратный метр (не меньше), если больше — это только на пользу. Белизна, это говоря простыми словами — оттенок белого цвета. Оптимальная белизна бумаги — восемьдесят два — девяносто шесть процентов. Тут также следует понимать — слишком белая — это не хорошо, слишком тёмная — тоже плохо. Тем не менее переживать за это не следует, ибо производители в своём большинстве делают тетради именно в диапазоне 82-96 процентов, как это заложено в государственные стандарты по изготовлению тетрадей.

Чем закрашивать клетки? Как правило раскрашивают тем что есть под рукой — чаще всего это простая шариковая ручка синего цвета, или карандашы — серого цвета. Но согласитесь, двумя цветами раскрашивать не очень прикольно! Тут на помощь нам приходит широкий спектр цветных ручек, карандашей, фломастеров, мелков. Купить их можно в любом отделе канцелярии, цены — довольно разные и зависят от производителя, количества цветов, бренда, качества. В любом случае выбор очень широк и вы обязательно найдёте что-нибудь для себя! Какие цветные ручки лучшие для творчества — обычные шариковые, гелевые, капилярные или же масляные? На наше твёрдое убеждение, для рисования по квадратикам лучше использовать шариковые или масляные ручки. Гелевые конечно очень яркие, но имеют большой недостаток — они размазываются по бумаге, что в итоге может испортить весь рисунок. Капилярные ручки очень похожи на фломастеры — они тоже яркие, но имеют другой недостаток — их чернило очень крепкое и часто пропитывает лист бумаги. Если есть возможность — надо покупать масляные ручки. Они не размазываются, не пачкают руки, очень гладко скользят по бумаге. Идеальный вариан для рисования по клеткам! Если же вы фанат фломастеров, то также знайте — они делятся на два больших подвида: на водной основе и на спиртовой основе. Больше распространены фломастеры на водной основе — и не безосновательно, ведь они более безопасны. Также у такого типа фломастеров очень большой выбор цветов. Из недостатков — они могут промокать бумагу. Так что это не лучший вариант для рисования. Другой тип — спиртовые фломастеры. Сразу перейдя к недостаткам, отметим что они также могут просвечивать бумагу и к тому же имеют очень резкий спиртовый запах. Сомневаюсь что это вам понравиться! Третий инструмент для раскрашивания — карандаши. На сегодняшний день они делятся на четыре больших вида — деревянные цветные карандаши, акварельные, восковые и пластиковые. Деревянные карандаши знакомы всем нам ещё с детства, они хорошо подходят для рисования по клеточкам, но имеют один большой недостаток — часто ломаются. Не имеют этой проблемы другие два вида — восковые и пластиковые, но ихние контуры более толстые, что не очень хорошо для рисования по изящным квадратикам. И наконец акварельные карандаши — самый новый тренд. Их особенность — сначала рисовать нужно карандашом, а потом проявлять рисунок мокрой кисточкой. При всех преимуществах акварельных карандашей, использовать их для рисования по клетках не рекомендуем — будут промокания и просветы. Таким образом можно сделать небольшой вывод — лучше всего рисовать по квадратиках масляными ручками! Какие марки ручек, карандашей и фломастеров рекомендуется покупать? Итак, небольшой рейтинг: Ручки — BIC Cristal, BIC Декор, BIC Orange, BIC 4 COLORS FASHION. Карандаши — Koh-i-Noor, DERWENT, DALER ROWNEY, Faber Castell. Фломастеры — Crayola, RenArt, Centropen. Мелки — Rowney Perfix, Blair No Odor Spray Fix, Melissa & Doug, Kite, Радуга.

Приятного творчества!

Красиво рисовать — могут единицы! А тем, у кого нет особенных способностей – о рисовании остается только мечтать! Ну и любоваться чужими рисунками, конечно же! Еще совсем недавно – так и было! Но теперь – все изменилось, потому что с помощью клеточек любой из нас сможет нарисовать красивую картину! Да-да! Рисунки по клеточкам сложные и большие – ничем не уступают по красоте настоящим картинам!

В детстве многие мечтают стать настоящим художником! Это же так здорово – рисовать красивые рисунки, дарить их своим друзьям и близким! Увы, не всем даны способности и таланты, поэтому чаще всего, в будущем приходится выбирать совсем другие профессии! А на красивые картины – любоваться на выставках! Но сегодня – все изменилось. И нарисовать их сможет каждый! Ведь теперь есть картинки по клеточкам!

Отсчитав нужное количество клеточек и закрасив их в определенный цвет, вы сможете нарисовать красивый портрет, пейзаж, любимого персонажа или целый сюжет! Вам потребуется немало терпения и внимательности, но результат того стоит! Для больших рисунков лучше всего подойдет миллиметровая бумага, но можно использовать и обычные листы в клетку, склеив их в один большой лист! Хотите попробовать нарисовать настоящую большую картину?

С помощью клеточек можно нарисовать все, что угодно. В тетради или блокноте – небольшие рисунки цветов, животных или любимых персонажей, на большом тетрадном листе – красивую композицию, а на листе миллиметровой бумаги – даже огромный натюрморт или портрет! Все зависит только от сложности выбранного вами образца для перерисовки. Конечно, начинать сразу с огромных картин – не стоит, но если постараться, можно очень быстро перейти от самых простых картинок к гораздо более сложным!

Более сложные рисунки подойдут тем кто уже натренировался на и рисунках по клеточкам, и желает попробовать нарисовать что-то более сложное. В нашей галерее представлены как портреты так и и просто классные рисунки по клеточкам для срисовки в тетради.

Для более сложных рисунков лучше подойдёт миллиметровая бумага.

В Живую это выглядит примерно вот так:

А здесь вы можете заказать классный портрет с использованием технологии флип-арт.
Технология флип-арт, это рисование с использованием красок и трафарета.

Научиться рисовать рисунки по клеточкам может практически любой человек. Никаких особенных навыков и инструментов для этого не нужно. Достаточно запастись временем, обычной школьной тетрадью и простым карандашом с острым грифелем. Новичкам лучше первое время не использовать ручку, поскольку в случае ошибки ее нельзя будет стереть.

Правила рисования по клеточкам

Это интересно: Уроки гуашью для начинающих поэтапно: рисуем цветы и пейзаж + 100 ФОТО

Рисование полезно как для взрослых, так и для детей. Этот процесс развивает мелкую моторику пальцем, учит концентрации и дарит спокойствие. Не обязательно рисовать на уровне мастера, но в данной статье будут разобраны варианты обучения профессиональному и стилизованному рисованию.

Пример простых и сложных рисунков, нарисованных по тетрадным клеточкам:

Как правило, для начала нужно сделать обводку рисунка черным или коричневым цветом. Потом определенные фрагменты нужно заполнить цветом. Стандартный размер 1 клетки в тетради — 5 на 5 мм. Есть тетради с крупными клетками для первоклассников и второклассников. Они идеально подходят для новичков.

Любители рисовать по клеточкам очень часто пользуются маркерами, а не карандашами. Почему? Так рисунок получается более ярким, «сочным». Плохие маркеры или же простые фломастеры могут течь, что особенно некстати, когда человек только учится рисовать. Поэтому лучше сразу покупать маркеры для рисования или скетчинга в специализированных магазинах.

Скетчинг – это разновидность очень быстрого рисования. По сути, с помощью данной техники можно делать очень стильные и красивые рисунки. Самое главное – иметь необходимые навыки. Скетчинг производится профессиональными качественными инструментами.

Поэтапная инструкция: с чего начать?

Как рисовать? Нужно выбрать любое понравившееся изображение. Для начала лучше выбирать простые схемы. Довольно легко рисовать сердце, геометрические фигуры, овощи и фрукты.

Отсчитайте нужное количество клеток (ориентируйтесь на выбранное изображение). Далее необходимо проставьте точки по одной стороне контура будущего рисунка.

Точки нужно ставить поэтапно, в противном случае можно ошибиться.

Точки проставлены. Нужно начинать делать обводку.

Не обязательно пытаться вырисовывать идеально прямые линии. Рисование по клеткам не должно быть сложным и муторным, напротив — этот процесс должен приносить удовольствие.

После обводки мы закрашиваем столбик. На примере данного рисунка можно сделать что угодно, поэтому повторять его не обязательно. Самое главное — понять, как устроен процесс рисования по клеточкам.

Приложите палец и снова отсчитайте нужное количество клеток.

Снова проставьте точки-ориентиры. В данном случае человек закрашивает 4 ряда клеток — вы же должны ориентироваться на свой рисунок.

Проставили точки – и закрашиваем их.

При необходимости можно закрашивать отдельные клетки. Как на примере рисунка 9.

Продолжаем рисовать

Уже четко проглядывается контур будущего рисунка.

Проставляет ещё 9 точек параллельно уже закрашенной линии. Делает обводку, закрашивает

В данном случае можно наблюдать рисование лесенкой. Огромный плюс заключается в том, что такую схему легко повторить.

Закрашено еще несколько клеточек, и вот уже вырисовывается будущая картинка

Это — сердце. Его можно нарисовать отдельно, сделать более крупным. Схема уже продемонстрирована в данной инструкции.

Завершающий этап. Заполнение цветом.

На примере данной инструкции можно убедиться в том, что рисование по клеткам — это просто. И, стоит отметить, что автор приведенного рисунка не особо старался сделать все аккуратно. Поэтому не стоит особо волноваться из-за маленьких ошибок, впоследствии они будут закрашены, и общая картина получится именно такой, какой вы хотите ее видеть.

Рисование на асфальте

Когда речь идет о рисовании на асфальте, многим приходят в голову детские картинки — домики, солнышки, цветочки. Но на самом деле многие художники мира специализируются на объемных 3D-картинах. И их они нередко рисуют именно на асфальте, чтобы впечатлить прохожих и заявить о себе.

Таких художников называют мастерами оптических иллюзий. Действительно, с первого взгляда сложно отличить некоторые картины от реальности. Естественно, чтобы нарисовать подобное, нужно очень много опыта — и практического, и теоретического.

Зачастую различные крупные холдинги заказывают у таких художников работы. Подобная деятельность очень хорошо оплачивается.

Как рисовать объемные картины: теория и практика

Для начала нужно сделать набросок на бумаге. Естественно, нужно знать основы рисования, в частности — академического. Начинать стоит с простых форм, геометрических фигур.

3D-изображение «оживает» при смене угла зрения. То есть, если посмотреть на картину, например, сверху, то она будет казаться объемной. При этом если взглянуть на нее снизу или сбоку, то она снова станет обычным плоским рисунком. В этом заключается фишка 3D-изображений.

Объемный рисунок — перспектива с искаженным углом зрения

Инструменты, которые понадобятся:

• карандаши с грифелями различной жесткости;
• ластик;
• лист формата A4;
• настольная лампа;
• любой предмет (тот, который вы будете рисовать).

Естественно, нужно брать что-то простое — например, тот же ластик. Его необходимо положить на чистый лист, после чего включить настольную лампу и направить ее свет на бумагу. Что должно получиться после выполнения этих действий? Предмет начнет отбрасывать тень, которую можно будет впоследствии обрисовать.

Вот так это выглядит на практике. Предмет отбрасывает тень, которая по итогам становится подсказкой для художника.

Подобные хитрости можно использовать новичкам. Но, по сути, для рисования сложных объемных картин, придется выучить всю теорию, которую проходят в художественных школах.

Игра теней и света является очень важной, поскольку именно она вкупе с обманом зрения делает рисунок объемным. Тени должны быть мягкими, растушеванными.

В самом начале нужно выбрать угол зрения. То есть, ракурс, с которого человек будет смотреть на рисунок. Угол зрения в процессе рисования менять нельзя, иначе не будет иллюзии объемности изображения.

Положение глаз или же ракурс — основа перспективы

Для большего эффекта можно менять положение листа. Не обязательно, чтобы он лежал прямо, даже лучше, если будет наискосок.

Правильное положение листа для достижения эффекта «обмана зрения»

Дальнейшие действия интуитивно понятны. Выбранный предмет нужно обвести со всех сторон. В итоге у вас будет контур будущего рисунка.

После обводки нужно опять поместить предмет на лист. Нужно обозначить все его углы. Для начала можно просто поставить точки, которые будут обозначать положение углов.

Прищурьтесь и посмотрите на предмет. Так будет проще обозначить углы.

В итоге должно получиться нечто подобное. На данной картинке контур будущего рисунка

Можно постоянно прикладывать выбранный предмет к бумаге. Так вы сможете убедиться в том, что все делаете правильно или же найти и исправить ошибку.

На практике это выглядит так. Черным цветом отмечены нарисованные грани

При ближнем рассмотрении

Теперь нужно стереть внутренний прямоугольник. Тут довольно интересный момент, поскольку внутренние грани нужны только для построения 3D.

Теперь нужно наметить тень. Для этого свет лампы следует направить прямо на предмет.

Работа с тенью

Тень необходимо аккуратно обвести. Это важный момент, все контуры нужно намечать не слишком сильно . Достаточно того, что они заметны вам.

Закон световоздушной перспективы: тень получится двойная. На картинке вы можете увидеть, что у нее есть более светлая и более темная часть. Это также нужно обозначить на бумаге. Тень делится на две части: тень и полутень.

Далее штрихуем. Для этого нужно воспользоваться правилом градации тени. Предмет нужно поставить рядом с рисунком и внимательно его рассмотреть. Где у предмета самые светлые тени, а где самые темные? Это должно быть отображено на рисунке.

Штрихуем очень аккуратно. Нужно стараться добиться эффекта растушеванной штриховки.

Приступаем к растушевке

Как растушевывать? На самом деле это можно сделать пальцем или мятым листком бумаги. Тушевка пальцем будет удобнее для новичков.

Как увидеть где у предмета темные стороны, а где светлые? Для этого нужно посмотреть на него, прищурившись.

Там, где тон светлее, чем лист, нужно добавить цвета именно листу

После этого мы обозначаем тень с помощью легкой штриховки. Изначально основная тень должна быть такой же мягкой, как и полутень. Потом мы придадим ей более темную окраску. Не забывайте все растушевывать.

После этого нужно снова положить предмет на рисунок. Необходимо обозначить внутреннюю тень (наиболее темную) и внешнюю полутень. Их можно отделить друг от друга легким контуром. Далее нужно заштриховать внутреннюю тень, тем самым придав ей более темный оттенок.

Добавляем несколько линий и штрихов, после чего наш рисунок оживает

Ничего сложного в данной технике нет. Единственный минус — это то, что она отнимает много времени. Но этот минус в принципе относится ко всем разновидностям изобразительного искусства.

Посмотрите видео по теме 3D-рисунков. С помощью этого ролика вы сможете нарисовать объемную бабочку.

ВИДЕО: Рисуем бабочку

Как нарисовать бабочку в 3d

Как нарисовать бабочку в 3d. Иллюзия объема БЕЗ КАМЕРЫ и под любыми углами!!!

Вам нравится Япония? Вы любите разгадывать кроссворды?Должно быть, Вы думаете: «К чему все эти вопросы? Так вот! Японцы обожают разгадывать кроссворды, и в основе их лежит рисование по клеточкам. Если правильно разгадать кроссворд, то получаются очень интересные рисунки.

Освоить процесс рисования по клеточкам сможет почти каждый. Для этого вам не нужно оканчивать художественную школу или иметь особый талант рисования. Просто будьте креативным! Приступим!

Для лёгкого и быстрого обучения приобретите тетрадь в клеточку, простой карандаш и фломастеры.Просто наглядным способом перенесите рисунки в тетрадь.

Если Вы новичок – используйте готовые схемы, а когда научитесь этому процессу – придумывайте свои идеи!

Шаблоны

Лицо человека

Что может быть прекраснее, чем лицо человека? Создайте портрет своими руками и наслаждайтесь Вашим творением!

Фрукты

Такие сладкие и полезные! Когда мы смотрим на них, у нас поднимается настроение, и наш организм хочет получить свою долю витаминов.

Сердце

Самый популярный рисунок – наш «мотор жизни», который ассоциируется с прекрасным чувством любви.

Другие идеи

Вы можете рисовать по клеточкам домашних питомцев, машины, сладости, дома, город, цветы, флаги разных государств, буквы и многое другое…

Реализуй творческие способности! Рисунки в формате 3D!Это прекрасный способ интересного досуга. Учёными доказано, что во время рисования нервная система человека успокаивается, развивается мышление, улучшается память и сосредоточенность.

Создавайте яркие и насыщенные рисунки, добавляйте краски в свою жизнь! Таким интересным рисунком можно украсить интерьер, создать аппликацию или порадовать друга своим подарком!

Не каждому удалось окончить художественную школу, чтобы научиться технике рисования. Если хотите сделать креативную открытку или заполнить дневник оригинальными рисунками, освойте рисование по клеточкам. Маленькие картинки по клеточкам смогут сделать даже новички. Главное, купить тетрадку для математики со светлой бумагой.

Как рисовать по клеточкам

Многие любят разгадывать японские кроссворды, в основу которых положено рисование по клеточкам. Если у вас есть готовые разгаданные кроссворды или ответы к ним, то сможете просто перерисовать в свою тетрадку большие фигуры.

Самый хороший способ использовать готовые схемы, которые были специально разработаны для тех, кто не умеет рисовать. Вы можете закрашивать по схеме клеточки в собственной тетради, а потом удивлять красивыми изображениями близких и родных.

Среди шаблонов вы найдете

Оригинально смотрятся фрукты по клеточкам . Если хорошо закрасить рисунок яркими фломастерами, то потом можно его вырезать и использовать для декора интерьера или украшения аппликации.

Хотите сделать открытку или описать в своем дневнике романтическую историю, тогда нарисуйте сердечко по клеткам.

Конфетки, букетики, цветочки – все это можно нарисовать по клеточкам.

Если вы освоите принцип, то потом сможете изображать все, что угодно в своей собственной тетради.

Хотите придумать свой собственный рисунок? Тогда сделайте легкую зарисовку, а потом начинайте превращать ее в рисунок по клеточкам. Начинать лучше всего с контура. Потом можете выделять мелкие детали. Не забудьте отметить, каким цветом, какая деталь должна быть выделена, чтобы рисунок получится ярким и красивым.

3D-рисунки по клеточкам – это хороший способ провести интересно досуг и реализовать свои творческие способности.

Вы еще ни разу не рисовали по клеточкам? Тогда обязательно попробуйте. Это занятие придется по душе как маленьким детям, так и взрослым. Специалисты отметили, что это хобби развивает творческое мышление, координацию движений при письме, концентрацию внимания и логику. Проводите досуг с пользой, выдумывая новые 3Д схемы простые и сложные для рисования по клеточкам.

Сложный рисунок по клеточкам

Предлагаем фото нескольких популярных схем для начинающих

Как нарисовать все формы кристаллов

Если вы хотите рисовать кристаллы, сначала вам нужно ответить на вопрос: какие кристаллы? Там столько разных форм! К счастью, у всех у них есть кое-что общее — их можно построить с помощью простой геометрической формулы.

В этом уроке я покажу вам, как использовать эти формулы для рисования всех типов кристаллов, которые вы можете себе представить! Это будет не только увлекательное занятие, но и ценное упражнение по рисованию вещей в 3D.

Отказ от ответственности: это ни в коем случае не научная статья.Я не специалист по кристаллам, и это просто художественный подход к рисованию их в различных формах.

1. Основы перспективы

Прежде чем начать, вам нужно убедиться, что вы понимаете основы правил перспективы. Я не говорю о линиях горизонта и точках схода и прочем — я говорю о том, что происходит с объектами, когда они вращаются.

Когда нас учат рисовать фигуры на уроках математики, перспективу обычно игнорируют.Эти рисунки должны показывать три измерения: ширину, высоту и глубину, но не так, как мы их видим на самом деле. Просто сравните эти два кубика: один из них рисовать легко… а другой правильно.

Какая разница? Все дело в углах и длинах. Эта квадратная грань куба выглядит как квадрат (прямые углы, равные стороны), когда вы смотрите на нее прямо. Когда он вращается, он теряет свои прямые углы, а две его стороны становятся короче, чтобы, наконец, получить угол 0 градусов и длину 0, когда вращение завершено.

Не все фигуры имеют квадратные грани, но у всех есть оси, определяющие их ширину, высоту и глубину. Длина этих осей и углы между ними определяют фактическую трехмерную форму фигуры. Они также имеют решающее значение для разработки всех семи систем кристаллов!

Если это краткое введение было для вас слишком кратким, вы можете узнать больше о перспективе из этих курсов и руководств:

Как я уже упоминал, существует семь основных кристаллических систем:

• Кубический
• Тетрагональный
• Ромбическая
• Моноклиника
• Триклиника
• Шестигранник
• Треугольный
  

Давайте узнаем о них шаг за шагом!

2.Как нарисовать кубическую кристаллическую систему

Кубические кристаллы — самые простые из всех: они имеют три равные оси, все перпендикулярные друг другу. Проще говоря, кубические кристаллы имеют квадратное основание и равные грани (но они не обязательно должны быть кубами!).

Шаг 1

Начнем с квадратного основания. Представьте себе одну горизонтальную сторону квадрата и поверните ее — чем больше поворот, тем более укороченной должна быть линия.

Шаг 2

Пересеките ее посередине с другой осью.Хотя она такая же длинная, как и предыдущая, перспектива изменит ее — чем длиннее первая линия, тем короче вторая. Обратите внимание и на углы — чем ближе к горизонтали, тем длиннее один, тем дальше другой.

Шаг 3

Прикрепите копию линии к обоим концам других линий, чтобы создать квадрат в перспективе.

Шаг 4

Но это были всего две оси: ширина и глубина. Теперь добавим третий. Хотя он кажется вертикальным, на него также влияет перспектива — он повернут к нам, потому что, если бы это было не так, мы бы вообще не видели квадрат.Просто возьмите чашку и попытайтесь увидеть и боковую сторону в полный рост, и ее верхушку в виде круга — это невозможно! Так что высоту тоже надо уменьшить. Чем «квадратнее» квадрат, тем короче его высота (точно так же, как более овальная вершина чашки, тем меньше видна сторона).

Шаг 5

Скопируйте квадрат вверх, проведя параллельные линии через верх оси высоты.

Шаг 6

Соедините соответствующие углы обоих квадратов.

Шаг 7

Чтобы создать ощущение глубины, подчеркните линии спереди.

3. Как нарисовать тетрагональную кристаллическую систему

Тетрагональные кристаллы относятся к кубическим кристаллам так же, как прямоугольники к квадратам: у них есть только две равные оси, все еще перпендикулярные друг другу. Это означает, что у них есть два типа лиц.

Шаг 1

Начнем с квадратного основания: это будут две равные оси, которые нам нужны. Помните правила!

Шаг 2

Третья ось должна иметь другую длину.Давайте сделаем его намного длиннее, чем другие оси, чтобы подчеркнуть разницу.

Шаг 3

Скопируйте квадрат наверх.

Шаг 4

Соедините оба квадрата.

Шаг 5

Как и прежде, подчеркните видимые линии.

4. Как нарисовать орторомбическую кристаллическую систему

Орторомбические кристаллы имеют три оси, перпендикулярные друг другу, но на этот раз все три неравны.

Шаг 1

Начните с одной оси, выбрав любую длину.

Шаг 2

Скрестить с другой осью. Угол должен соответствовать правилам перспективы, но длина не должна иметь ничего общего с первой осью.

Шаг 3

Нарисуйте контур самолета.

Шаг 4

Добавить третью ось. Опять же, выберите любую длину, которую вы хотите.

Шаг 5

Скопируйте базовый прямоугольник наверх.

Шаг 6

Соедините оба прямоугольника.

Шаг 7

Подчеркнуть видимые линии формы.

5. Как нарисовать моноклинную кристаллическую систему

Эти кристаллы имеют три неравные оси, как и предыдущая система, но на этот раз только две из них перпендикулярны друг другу. Вот где начинается самое интересное!

Шаг 1

Нарисуйте первую ось любой длины.

Шаг 2

Скрестить с другой осью. Выберите любую длину, которую хотите, но сохраните угол, характерный для прямоугольника (это будут наши два разрешенных прямых угла).

Шаг 3

Очертите прямоугольник.

Шаг 4

Добавить третью ось. Дайте ему любую длину и любой угол, который вы хотите!

Этап 5

Скопируйте прямоугольник наверх. Будьте очень осторожны — на этот раз скопированный прямоугольник не будет находиться прямо над исходным!

Шаг 6

Соедините оба прямоугольника. Обратите внимание, как эти линии следуют углу третьей оси.

Шаг 7

Завершите рисунок, подчеркнув линии переда.

6. Как нарисовать триклинную кристаллическую систему

Как вы, наверное, догадались, эти кристаллы имеют три неравные оси и ни одного прямого угла между ними. Из-за этого их довольно сложно нарисовать правильно, потому что их легко заставить выглядеть неправильно — как будто вы не знаете, как работает перспектива!

Шаг 1

Нарисуйте первую ось как хотите.

Шаг 2

Пересеките его со второй осью любой длины, под любым углом.

Шаг 3

Очертите форму, созданную этими двумя осями. В перспективе это может выглядеть как прямоугольник, но на самом деле это не так!

Шаг 4

Добавить третью ось любой длины под любым углом. Старайтесь избегать всего, что похоже на тетрагональную систему.

Шаг 5

Аккуратно скопируйте основу вверх, потому что она совсем не выше оригинала.

Шаг 6

Соедините углы обоих оснований.

Шаг 7

Завершить рисунок.

7. Как нарисовать шестиугольную кристаллическую систему

Гексагональные кристаллы достаточно просты и эффективны: у них есть три оси одинаковой длины с равными углами между ними, и еще одна ось разной длины, перпендикулярная всем им. Звучит сложно, но это проще, чем вы думаете!

Шаг 1

Начните с одной оси любой длины.

Шаг 2

Пересеките ее с другой осью той же длины (влияет на перспективу).Они оба должны выглядеть как слегка наклоненная буква «Х».

Шаг 3

Скрестите их с третьей осью той же длины.

Шаг 4

Соедините оси, создав шестиугольник.

Шаг 5

Теперь добавьте четвертую ось любой длины, перпендикулярную основанию.

Шаг 6

На этот раз, чтобы скопировать базовый шестиугольник, сначала скопируйте оси.

Шаг 7

Соедините концы осей.

Шаг 8

Обведите контур скопированного шестиугольника.

Шаг 9

Завершить рисунок.

8. Как нарисовать тригональную кристаллическую систему

Эта система, на мой взгляд, самая запутанная для понимания и правильного рисования, чтобы она не выглядела неправильно. Все три оси равны, ни одна из них не перпендикулярна друг другу, но все грани имеют одинаковую форму.

Шаг 1

Запуск с одной оси.

Шаг 2

Добавить еще одну ось такой же длины под любым углом.

Шаг 3

Нарисуйте ромб.

Шаг 4

Добавить третью ось. Он должен быть такой же длины, но расположен под непрямым углом.

Шаг 5

Скопируйте оси ромба сверху.

Шаг 6

Соедините оба ромба.

Шаг 7

Обведите верхний ромб.

Шаг 8

Завершить рисунок.

9. Как рисовать детализированные кристаллы

Но это только основания, так называемые призмы.Мы можем создавать более интересные формы кристаллов, комбинируя призмы/плоскости с другими образованиями. Давайте взглянем на некоторые из них.

Хрустальные окна

Отметьте каждую сторону одинаковой длины и соедините отметки, чтобы получились треугольники. Сотрите линии внутри треугольников.

Пирамида

Вместо того, чтобы копировать основание вверх (таким образом создавая призму), соедините углы основания непосредственно с концом третьей оси.

Купол

Опять же, не копируйте базу — просто проведите дважды симметрично третью ось вдоль одной из осей базы.Соедините их линией, параллельной этой оси, а затем соедините ее с углами основания.

Клиновидная

На этот раз скопируйте основание и поместите его поверх третьей оси, но уменьшите масштаб, создав пирамиду с обрезанным кончиком.

Вы можете комбинировать все эти методы для создания различных кристаллов. Большинство из этих форм довольно просты, но позвольте мне показать вам две особенные в качестве демонстрации создания сложных кристаллов из более простых форм.

10.Как нарисовать додекаэдр

Этот кристалл имеет 12 граней и выглядит очень эффектно, но рисовать его довольно просто.

Шаг 1

Начните с куба. Отметьте все оси посередине.

Шаг 2

Равномерное удлинение каждой оси с учетом перспективы.

Шаг 3

Добавьте пирамиду к каждой грани.

Шаг 4

Подчеркните линии, видимые спереди. Будьте очень осторожны здесь!

11.Как нарисовать Пиритоэдр

Пиритоэдр — это особый тип додекаэдра, гранями которого являются пятисторонние многоугольники.

Шаг 1

Нарисуй куб. Добавьте купол сверху и снизу.

Шаг 2

Добавьте купола к паре других граней. Они не должны быть такими же, как предыдущие!

Шаг 3

Добавьте купола к последней паре граней.

Шаг 4

Завершите рисунок, подчеркнув линии спереди.

Так Красиво!

Теперь вы знаете, как нарисовать любую форму кристалла, которая вам нужна! Если вы хотите создать что-то связанное с кристаллами, вам могут быть интересны другие наши уроки:

Или, может быть, вы хотите продолжить рисовать другие геометрические объекты? Мы вас прикрыли!

12.

Цели обучения

Убедитесь, что вы полностью поняли следующие основные идеи:

• Разница между квадратной и шестиугольной упаковками в двух измерениях.
• Определение и значение элементарной ячейки.
• Нарисуйте три решетки Браве кубической системы и рассчитайте количество атомов, содержащихся в каждой из этих элементарных ячеек.
• Покажите, как альтернативные способы укладки трех плотноупакованных слоев могут привести к гексагональным или кубическим плотноупакованным структурам.
• Объясните происхождение и значение октаэдрических и тетраэдрических отверстий в сложенных плотно упакованных слоях и покажите, как они могут возникать.

Плотная упаковка идентичных сфер

Кристаллы, конечно, трехмерные объекты, но мы начнем с изучения свойств массивов в двухмерном пространстве. Это облегчит разработку некоторых основных идей без дополнительных сложностей, связанных с визуализацией в 3D, что часто требует некоторой практики. Предположим, у вас есть дюжина или около того шариков. Как вы можете расположить их в один компактный слой на столешнице? Очевидно, что они должны соприкасаться друг с другом, чтобы минимизировать площадь покрытия.Оказывается, есть два эффективных способа добиться этого:

Существенное отличие здесь состоит в том, что любой шарик внутри квадратной упаковки находится в контакте с четырьмя другими шариками, в то время как в шестиугольной упаковке это число увеличивается до шести. Также должно быть очевидно, что последняя схема покрывает меньшую площадь (содержит меньше пустого пространства) и, следовательно, является более эффективной компоновкой упаковки. Если вы хорошо разбираетесь в геометрии, вы можете показать, что квадратная упаковка покрывает 78% площади, а шестиугольная — 91%.

Если мы перейдем от мира мрамора к миру атомов, какую упаковку предпочтут атомы данного элемента?

Если атомы идентичны и связаны друг с другом главным образом дисперсионными силами, которые совершенно ненаправленны, они будут благоприятствовать структуре, в которой как можно больше атомов могут находиться в прямом контакте. Это, конечно, будет шестиугольное расположение.

Основное влияние на упаковку оказывают направленные химические связи между атомами.Вариант гексагональной упаковки, показанный справа, встречается в форме углерода, известного как графит , который образует двумерные листы. Каждый атом углерода в листе связан с тремя другими атомами углерода. В результате получается просто базовая гексагональная структура, в которой отсутствуют некоторые атомы.

Координационное число 3 отражает sp ² -гибридизацию углерода в графите, приводящую к плоско-тригональной связи и, таким образом, к листовой структуре. Соседние листы связаны слабыми дисперсионными силами, что позволяет листам скользить друг по другу и обусловливает смазывающие и отслаивающие свойства графита.

Решетки

Основной порядок кристаллического твердого тела может быть представлен массивом регулярно расположенных точек, которые указывают расположение основных структурных единиц кристалла. Этот массив называется кристаллической решеткой. Кристаллические решетки можно рассматривать как построенные из повторяющихся единиц, содержащих всего несколько атомов. Эти повторяющиеся единицы действуют как резиновый штамп: прижимают его к бумаге, перемещают («перемещают») на расстояние, равное шагу решетки, и снова штампуют бумагу.

Хотя реальные кристаллы на самом деле не растут таким образом, этот процесс важен с концептуальной точки зрения, поскольку он позволяет нам классифицировать тип решетки с точки зрения простого повторяющегося элемента, который используется для ее «построения». Мы называем эту форму элементарной ячейкой . Любое количество примитивных форм может быть использовано для определения элементарной ячейки данной кристаллической решетки. Тот, который на самом деле используется, в значительной степени является вопросом удобства, и он может содержать точку решетки в своем центре, как вы видите в двух показанных здесь элементарных ячейках. В общем, лучшая элементарная ячейка — это простейшая ячейка, из которой можно построить решетку.

Выше показаны элементарные ячейки для плотноупакованных квадратных и шестиугольных решеток, которые мы обсуждали в начале этого урока.Хотя мы могли бы использовать шестиугольник для второй из этих решеток, ромб предпочтительнее, потому что он проще.

Обратите внимание, что в обеих этих решетках углы элементарных ячеек центрированы в точке решетки. Это означает, что атом или молекула, находящиеся в данной точке реальной кристаллической решетки, являются общими с соседними ячейками. Как более ясно показано здесь для двумерной решетки с квадратной упаковкой, одна элементарная ячейка может претендовать на «владение» только одной четвертью каждой молекулы и, таким образом, «содержит» 4 × 1/4 = 1 молекулу.

Элементарная ячейка графитовой формы углерода также представляет собой ромб в соответствии с гексагональной симметрией этого расположения. Обратите внимание, что для создания этой структуры из элементарной ячейки нам нужно сдвинуть ячейку в обоих направлениях x и y , чтобы оставить пустые места в правильных местах. В качестве альтернативы мы могли бы использовать правильные шестиугольники в качестве элементарных ячеек, но все равно потребуются сдвиги x + y , поэтому обычно предпочтительнее более простой ромб.Как вы увидите в следующем разделе, пустое пространство внутри этих элементарных ячеек играет важную роль при переходе от двухмерных решеток к трехмерным.

Кубические кристаллы

Чтобы удержать этот урок в разумных пределах, мы ограничиваем его в основном кристаллами, принадлежащими к так называемой кубической системе. При этом мы можем развить основные понятия, полезные для понимания более сложных структур (как будто в одних только кубах сложностей недостаточно!) Но, кроме того, случается, что очень часто встречаются кубические кристаллы; большинство металлических элементов имеют кубическую структуру, как и обычная соль, хлорид натрия.

Мы обычно думаем о кубической форме с точки зрения равенства длин ее ребер и углов 90° между его сторонами, но есть и другой способ классификации форм, который химики находят очень полезным. Это нужно для того, чтобы посмотреть, какие геометрические преобразования (например, повороты вокруг оси) мы можем выполнить, чтобы внешний вид не изменился. Например, вы можете повернуть куб на 90° вокруг оси, перпендикулярной любой паре его шести граней, не внося в него видимых изменений.Мы говорим, что куб обладает тремя взаимно перпендикулярными четырехкратными осями вращения , сокращенно C ₄ осями. Но если подумать, куб можно также вращать вокруг осей, проходящих между противоположными углами; в этом случае требуется три оборота на 120 °, чтобы пройти полный круг, поэтому эти оси (также четыре) тройные или оси C ₃ .

Кубические кристаллы принадлежат к одной из семи кристаллических систем, точки решетки которых могут неограниченно расширяться для заполнения трехмерного пространства и которые могут быть построены путем последовательных трансляций (движений) примитивной элементарной ячейки в трех измерениях.Как мы увидим ниже, кубическая система, как и некоторые другие, могут иметь варианты, в которых дополнительные узлы решетки могут располагаться в центре блока или в центре каждой грани.

Три типа кубических решеток

Здесь показаны три решетки Браве, образующие кубическую кристаллическую систему.

Структурные примеры всех трех известны, причем гораздо чаще встречаются тело- и гранецентрированные (BCC и FCC); большинство металлических элементов кристаллизуются в одной из этих последних форм.Но хотя простая кубическая структура сама по себе необычна, оказывается, что многие структуры ОЦК и ГЦК, состоящие из ионов, можно рассматривать как взаимопроникающие комбинации двух простых кубических решеток, одна из которых состоит из положительных ионов, а другая — из отрицательных. Обратите внимание, что только структура ГЦК, которую мы опишем ниже, представляет собой плотноупакованную решетку внутри кубической системы.

Плотно упакованные трехмерные решетки

Плотноупакованные решетки обеспечивают максимальное взаимодействие между атомами.Если эти взаимодействия в основном притягивающие, то плотная упаковка обычно приводит к более энергетически устойчивым структурам. Такая геометрия решетки широко распространена в металлических, атомарных и простых ионных кристаллах.

Как мы указывали выше, шестиугольная упаковка одного слоя более эффективна, чем квадратная упаковка, поэтому с этого мы и начнем. Представьте, что мы начинаем с одного слоя зеленых атомов, показанного ниже. Мы будем называть это слоем А. Если мы поместим второй слой атомов (оранжевый) поверх А-слоя, мы ожидаем, что атомы нового слоя будут располагаться в углублениях в первом слое.Но если все атомы идентичны, доступными будут только некоторые из этих пустых пространств.

На диаграмме слева обратите внимание на два класса пустот между атомами А; один набор (окрашенный синим цветом) имеет вершину, направленную вверх, а другой набор (не окрашенный) имеет вершины, направленные вниз. Каждое пустое пространство представляет собой углубление, в котором могут гнездиться атомы второго слоя (В-слоя). Два набора пустотных пространств полностью эквивалентны, но только один из этих наборов может быть занят вторым слоем атомов, размер которого подобен атомам нижнего слоя.На иллюстрации справа выше мы произвольно разместили атомы B-слоя в синих пустотах, но с тем же успехом могли бы выбрать и белые.

Два варианта третьего слоя приводят к двум различным типам плотноупакованных решеток

Теперь рассмотрим, что происходит, когда мы создаем третий слой атомов. Они будут вписываться в пустые пространства внутри B-слоя. По-прежнему существует два набора этих позиций, но в отличие от случая, описанного выше, они не эквивалентны.

Атомы в третьем слое представлены незаштрихованными синими кружками, чтобы не загораживать нижние слои. На иллюстрации слева этот третий слой расположен на B-слое в местах, которые находятся непосредственно над атомами A-слоя, поэтому наш третий слой — это просто еще один A-слой. Если мы добавим еще несколько слоев, вертикальная последовательность A-B-A-B-A-B-A… будет повторяться бесконечно.

На диаграмме справа синие атомы расположены над белыми (незанятыми) пустотами в слое А.Поскольку этот третий слой смещен по горизонтали (на наш взгляд) от слоя А, мы назовем его слоем С. По мере того, как мы добавляем больше слоев атомов, последовательность слоев будет такой: А-В-С-А-В-С-А-В-С…, поэтому мы называем это упаковкой АВС.

Для ясности на этих диаграммах показаны только три атома слоев A и C. Но на самом деле каждый слой состоит из расширенного шестиугольного массива; два слоя просто смещены друг от друга.

Эти две диаграммы, которые показывают покомпонентные изображения вертикальной укладки, дополнительно иллюстрируют довольно небольшое фундаментальное различие между этими двумя схемами, но, как вы увидите ниже, они имеют сильно различающиеся структурные последствия. Обратите внимание на противоположную ориентацию слоев A и C 90 003.

Шестиугольная закрытая конструкция

Стекирование HCP, показанное слева чуть выше, выводит нас из кубической кристаллической системы в гексагональную систему, поэтому мы не будем говорить об этом здесь больше, за исключением того, что у каждого атома есть 12 ближайших соседей: шесть в своем собственном слое, и по три в каждом слое над и под ним.

Кубическая плотноупакованная структура

Ниже мы воспроизводим показанную выше структуру FCC.

Вы заметите, что атомы B-слоя образуют шестиугольник, но это кубическая структура . Как это может быть? Ответ заключается в том, что стопка FCC наклонена по отношению к граням куба и фактически совпадает с одной из трех осей, проходящих через противоположные углы. Чтобы увидеть взаимосвязь, требуется немного изучения, и мы предоставили два представления, чтобы помочь вам. Тот, что слева, показывает куб в нормальной изометрической проекции; тот, что справа, смотрит вниз на вершину куба под слегка наклонным углом.

Структуры CCP и HCP заполняют 74 процента доступного пространства, когда атомы имеют одинаковый размер. Вы должны увидеть, что две заштрихованные плоскости, пересекающие диагонали внутри куба, содержат атомы разных цветов, что означает, что они принадлежат разным слоям стека CCP. Каждая плоскость содержит три атома из слоя B и три из слоя C, что снижает симметрию до C ₃ , которой должна обладать кубическая решетка.

Элементарная ячейка FCC

На рисунке ниже показана гранецентрированная кубическая элементарная ячейка кубически плотно упакованной решетки.

Сколько атомов содержится в элементарной ячейке? Каждый угловой атом является общим с восемью соседними элементарными ячейками, поэтому одна элементарная ячейка может претендовать только на 1/8 каждого из восьми угловых атомов. Точно так же каждый из шести атомов с центром на грани только наполовину принадлежит клетке. Тогда общая сумма составляет (8 × 1/8) + (6 × ½) = 4 атома на элементарную ячейку.

Промежуточные пустоты

Атомы в каждом слое в этих стопках с плотной упаковкой находятся в углублении в слое под ним.Как мы объяснили выше, эти пустоты заполнены не полностью. (Геометрически невозможно, чтобы более двух одинаковых сфер соприкасались в одной точке.) Позже мы увидим, что эти 90 503 промежуточных пустот 90 504 могут иногда вмещать дополнительные (но обычно меньшие) атомы или ионы.

Если мы посмотрим сверху на два слоя плотноупакованных сфер, мы сможем выделить два класса пустых пространств, которые мы называем тетраэдрическими и октаэдрическими дырками .

Четырехгранные отверстия

Если мы обратим наше внимание на область на приведенной выше диаграмме, где один атом находится в контакте с тремя атомами в слоях непосредственно под ним, пустое пространство известно как тетраэдрическая дыра . Аналогичное пространство будет найдено между этим единственным атомом и тремя атомами (не показаны), которые будут лежать поверх него в расширенной решетке. Любой промежуточный атом, который может занять это место, будет взаимодействовать с четырьмя окружающими его атомами, поэтому это также называется четырехкоординатным междоузельным пространством .

Пусть вас не вводит в заблуждение это имя; границы пустотного пространства представляют собой сферические сечения, а не тетраэдры. Тетраэдр — это всего лишь воображаемая конструкция, четыре угла которой указывают на центры четырех соприкасающихся атомов.

Октаэдрические отверстия

Точно так же, когда два набора из трех тригонально ориентированных сфер находятся в тесном контакте, они будут ориентированы под углом 60° друг к другу, а центры сфер будут определять шесть углов воображаемого октаэдра с центром в пустом пространстве между двумя слоями. , поэтому мы называем эти октаэдрических отверстий или шестикоординатными междоузлиями .Октаэдрические сайты больше, чем тетраэдрические сайты.

Октаэдр имеет шесть углов и восемь сторон. Обычно мы рисуем октаэдр в виде двойной квадратной пирамиды, стоящей на одном углу (слева), но для того, чтобы визуализировать октаэдрическую форму в плотноупакованной решетке, лучше представить октаэдр лежащим на одной из его граней (справа). .

Каждая сфера в плотноупакованной решетке связана с одним октаэдрическим узлом, тогда как тетраэдрических узлов вдвое меньше.Это видно на этой диаграмме, которая показывает центральный атом в слое B на одной линии с полостями в слоях C и A выше и ниже.

Элементарная гранецентрированная кубическая ячейка содержит одно октаэдрическое отверстие внутри себя, но октаэдрические отверстия, общие с соседними ячейками, существуют в центрах каждого ребра. Каждый из этих двенадцати узлов, расположенных на ребре, является общим с четырьмя соседними ячейками и, таким образом, вносит в ячейку (12 × ¼) = 3 атома. При добавлении к единственной дыре, содержащейся в середине ячейки, это дает в общей сложности 4 октаэдрических узла на элементарную ячейку. Это то же самое число, которое мы вычислили выше для числа атомов в ячейке.

Обычные кубические плотноупакованные конструкции

С помощью элементарной тригонометрии можно показать, что атом точно впишется в октаэдрическую позицию, если его радиус в 0,414 больше радиуса атомов-хозяев. Соответствующий показатель для меньших тетраэдрических отверстий равен 0,225.

Многие чистые металлы и соединения образуют гранецентрированные кубические (кубические плотноупакованные) структуры. Существование тетраэдрических и октаэдрических отверстий в этих решетках дает возможность «чужим» атомам занимать некоторые или все эти междоузлия.Чтобы сохранить плотную упаковку, межузельные атомы должны быть достаточно малы, чтобы поместиться в эти отверстия, не нарушая основной решетки CCP. Когда эти атомы слишком велики, что обычно имеет место в ионных соединениях, атомы в междоузельных позициях будут раздвигать атомы-хозяева, так что гранецентрированная кубическая решетка несколько раскрывается и теряет характер плотной упаковки.

Сооружение из каменной соли

Галогениды щелочных металлов, которые кристаллизуются со структурой «каменная соль», примером которой является хлорид натрия, можно рассматривать либо как ГЦК-структуру одного сорта ионов, в которой октаэдрические отверстия заняты ионами противоположного заряда, либо как две взаимопроникающие ГЦК-решетки, образованные из двух видов ионов.Два заштрихованных октаэдра иллюстрируют идентичную координацию двух типов ионов; каждый атом или ион данного типа окружен шестью атомами противоположного типа, что приводит к координации, выраженной как (6:6).

Сколько единиц NaCl содержится в элементарной ячейке? Если не принимать во внимание атомы, которые были помещены вне клетки для построения октаэдров, вы сможете насчитать четырнадцать «оранжевых» атомов и тринадцать «синих». Но многие из них являются общими с соседними элементарными ячейками.

Атом в углу куба является общим для восьми соседних кубов и, таким образом, дает 1/8 вклада в любую ячейку. Точно так же центр ребра является общим для четырех других ячеек, а атом с центром на грани является общим для двух ячеек. Принимая все это во внимание, вы должны быть в состоянии подтвердить следующий подсчет, показывающий, что в элементарной ячейке такого типа есть четыре единицы AB.

Если принять во внимание реальные размеры ионов (Na ⁺ = 116 пм, Cl ^– = 167 пм), очевидно, что ни один ион не влезет в октаэдрические дырки с решеткой CCP, состоящей из другого иона, поэтому фактическая структура NaCl несколько расширена за пределы модели с плотной упаковкой.

Модель заполнения пространства справа изображает гранецентрированную кубическую элементарную ячейку из ионов хлорида (фиолетовый цвет), а ионы натрия (зеленый цвет) занимают октаэдрические позиции.

Структура цинковой обманки: использование нескольких тетраэдрических отверстий

Поскольку у каждого атома в плотноупакованной решетке есть две тетраэдрические позиции, мы можем иметь бинарные соединения со стехиометрией 1:1 или 1:2 в зависимости от того, заняты ли половина или все тетраэдрические пустоты. Цинковая обманка — это минералогическое название сульфида цинка ZnS.Нечистая форма, известная как сфалерит , является основной рудой, из которой получают цинк.

Эта структура состоит в основном из ГЦК (CCP) решетки атомов серы (оранжевые) (эквивалентной решетке ионов хлорида в NaCl), в которой ионы цинка (зеленые) занимают половину тетраэдрических позиций. Как и в любой ГЦК-решетке, на элементарную ячейку приходится четыре атома серы, а четыре атома цинка полностью содержатся в элементарной ячейке. Каждый атом в этой структуре имеет 90 678 четырех 90 679 ближайших соседей и, таким образом, имеет тетраэдрическую координацию.

Интересно отметить, что если все атомы заменить углеродом, это будет соответствовать структуре алмаза .

Структура флюорита: все тетраэдрические позиции заняты

Флюорит, CaF ₂ , содержащий в два раза больше ионов фтора, чем кальция, использует все восемь тетраэдрических отверстий в CPP-решетке ионов кальция (оранжевые), изображенные здесь. Чтобы помочь вам понять эту структуру, мы показали некоторые октаэдрические позиции в следующей ячейке справа; вы можете видеть, что ион кальция в A окружен восемью ионами фтора, и это, конечно, относится ко всем кальциевым сайтам.Поскольку каждый ион фтора имеет четыре ближайших иона кальция, координация в этой структуре описывается как (8:4).

Хотя радиусы двух ионов (F ^– = 117 пм, Ca ^{2 +} = 126 пм не допускают истинной плотной упаковки, они достаточно похожи, чтобы можно было точно так же описать структуру как FCC решетка ионов фтора с ионами кальция в октаэдрических отверстиях

Простые и объемно-центрированные кубические конструкции

В разделе 4 мы видели, что единственная кубическая решетка, допускающая плотную упаковку, — это гранецентрированная кубическая структура. В простейшем из трех типов кубических решеток, простой кубической решетке , отсутствуют гексагонально расположенные слои, необходимые для плотной упаковки. Но, как показано на этом изображении в разобранном виде, пустое пространство между двумя квадратно упакованными слоями этой ячейки представляет собой октаэдрическую дыру, в которой может разместиться другой атом, что дает расположение упаковки, которое в благоприятных случаях может приближаться к истинной плотной упаковке. Каждый атом B второго слоя (синий) находится внутри элементарной ячейки, определяющей слои A выше и ниже него.

Атомы А и В могут быть одного типа или могут быть разными. Если они совпадают, мы имеем объемно-центрированную кубическую решетку . Если они разные, и особенно если это ионы с противоположным зарядом (как в структуре CsCl), существуют ограничения по размеру: если атом В слишком велик, чтобы поместиться в междоузельное пространство, или если он настолько мал, что атом А слои (которые все несут одинаковый электрический заряд) вступают в контакт без достаточного кулоновского притяжения AB, такое структурное расположение может быть нестабильным.

Структура хлорида цезия

CsCl является общей моделью структуры ОЦК. Как и во многих других структурах, включающих два разных атома или иона, мы можем рассматривать одну и ту же базовую структуру по-разному. Таким образом, если мы заглянем за пределы одной элементарной ячейки, мы увидим, что CsCl можно представить как две взаимопроникающие простые кубические решетки, в которых каждый атом занимает октаэдрическое отверстие внутри кубов другой решетки.

Авторы и авторство

Единиц

Элементарные ячейки

Элементарные ячейки: Простейший повторяющийся блок в кристалле

Структуру твердых тел можно описать так, как если бы они были объемные аналоги куска обоев.Обои имеют регулярный повторяющийся дизайн, который простирается от одного края до другого разное. Кристаллы имеют похожий повторяющийся рисунок, но в данном случае дизайн простирается в трех измерениях от одного края твердого тела к другому.

Мы можем однозначно описать кусок обоев по указание размера, формы и содержания простейших повторяющаяся единица в конструкции. Мы можем описать трехмерное кристалла, указав размер, форму и содержимое простейшая повторяющаяся единица и то, как эти повторяющиеся единицы складываются для формирования кристалла.

Простейшая повторяющаяся единица в кристалле называется единицей . ячейка . Каждая элементарная ячейка определяется в терминах точек решетки точек. точки пространства, вокруг которых частицы могут свободно колебаться. кристалл.

Структуры элементарной ячейки для различных солей показано ниже.

В 1850 году Огюст Браве показал, что кристаллы можно разделить на 14 элементарных ячеек, отвечающих следующим критериям.

• Элементарная ячейка — простейшая повторяющаяся единица в кристалл.
• Противоположные грани элементарной ячейки параллельны.
• Ребро элементарной ячейки соединяет эквивалентные точки.

14 элементарных ячеек Браве показаны на рисунке ниже.

Эти элементарные ячейки делятся на семь категорий, различающихся три длины ребра элементарной ячейки ( a , b и c ) и три внутренних угла (a, � и g), как показано в таблице ниже.

Семь категорий элементарных ячеек Браве

Мы сосредоточимся на кубической категории, которая включает в себя три типы элементарных ячеекпростые показан куб, объемно-центрированный куб и гранецентрированный куб на рисунке ниже.

Эти элементарные ячейки важны по двум причинам. Первый количество металлов, ионных твердых тел и интерметаллических соединений кристаллизуются в элементарных кубических ячейках. Во-вторых, относительно легко выполнять вычисления с этими элементарными ячейками, потому что ребро ячейки все длины одинаковые, а углы ячеек равны 90.

Простая элементарная кубическая ячейка является простейшей повторяющейся единица в простой кубической структуре. Каждый угол элементарной ячейки определяется точкой решетки, в которой атом, ион или молекула могут можно найти в кристалле. По соглашению край элементарной ячейки всегда соединяет эквивалентные точки. Каждый из восьми углов поэтому элементарная ячейка должна содержать идентичную частицу. Другой частицы могут находиться на ребрах или гранях элементарной ячейки, или в теле элементарной ячейки.Но минимум, который должен быть для того, чтобы классифицировать элементарную ячейку как простую кубическую, восемь эквивалентных частиц на восьми углах.

Элементарная объемно-центрированная кубическая ячейка является простейшей повторяющаяся единица в объемно-центрированной кубической структуре. Снова, восемь одинаковых частиц в восьми углах ячейка. Однако на этот раз есть девятая идентичная частица в центре тела элементарной ячейки.

Элементарная гранецентрированная кубическая ячейка также начинается с одинаковые частицы на восьми углах куба.Но это структура также содержит такие же частицы в центрах шесть граней элементарной ячейки, всего 14 одинаковых решеток точки.

Элементарная гранецентрированная кубическая ячейка является простейшей повторяющейся единица в кубической плотноупакованной структуре. На самом деле наличие элементарных гранецентрированных кубических ячеек в этой структуре объясняет, почему структура известна как кубических плотно упакованных.

Элементарные ячейки: A Трехмерный график

Точки решетки в элементарной кубической ячейке могут быть описаны в точки трехмерного графа.Потому что все три ребра ячейки длины одинаковы в кубической элементарной ячейке, неважно, что ориентация используется для a , b и c оси. Ради аргумента мы определим ось a как вертикальной оси нашей системы координат, как показано на рисунок ниже.

Ось b будет описывать движение поперек фронта элементарной ячейки, а ось c будет представлять движение к задней части элементарной ячейки. Кроме того, мы произвольно определить левый нижний угол элементарной ячейки как начало координат (0,0,0). Координаты 1,0,0 указывают точку решетки, которая одна длина ребра ячейки от начала координат вдоль a ось. Точно так же 0,1,0 и 0,0,1 представляют собой точки решетки, которые смещены на одну длину ребра от начала координат по б и осей c соответственно.

Рассматривая элементарную ячейку как трехмерный граф позволяет описать структуру кристалла с удивительно мало информации.Мы можем указать структура хлорида цезия, например, всего из четырех частей информации.

• CsCl кристаллизуется в кубической элементарной ячейке.
• Длина ребра элементарной ячейки 0,4123 нм.
• Имеется ион Cl ^— с координатами 0,0,0.
• В координатах 1/2,1/2,1/2.

Поскольку край ячейки должен соединять эквивалентные точки решетки, наличие иона Cl ^— в одном углу блока ячейка (0,0,0) подразумевает наличие иона Cl ^— при каждый уголок клетки. Координаты 1/2,1/2,1/2 описывают точка решетки в центре клетки. Потому что нет другая точка в элементарной ячейке, которая находится на расстоянии одной длины ребра ячейки по этим координатам это единственный ион Cs ⁺ в сотовый. Следовательно, CsCl представляет собой простую кубическую элементарную ячейку Cl ^–. ионы с Cs ⁺ в центре тела клетки.

Элементарные ячейки: NaCl и ZnS

NaCl должен кристаллизоваться в кубическом плотноупакованном массиве Cl ^— ионы с ионами Na ⁺ в октаэдрических отверстиях между плоскости ионов Cl ^— .Мы можем перевести эту информацию в модель элементарной ячейки для NaCl, помня, что гранецентрированная кубическая элементарная ячейка является простейшей повторяющейся единицей в кубическая плотнейшая упаковка.

В гранецентрированной кубической единице есть четыре уникальных положения. клетка. Эти позиции определяются координатами: 0,0,0; 0,1/2,1/2; 1/2,0,1/2; и 1/2,1/2,0. Наличие частицы в одном углу элементарной ячейки (0,0,0) требует наличия эквивалентная частица на каждом из восьми углов единицы клетка.Поскольку ребро элементарной ячейки соединяет эквивалентные точки, наличие частицы в центре нижней грани (0,1/2,1/2) подразумевает наличие эквивалентной частицы в центр верхней грани (1,1/2,1/2). Точно так же наличие частицы в центре граней 1/2,0,1/2 и 1/2,1/2,0 элементарная ячейка подразумевает эквивалентные частицы в центрах 1/2,1,1/2 и 1/2,1/2,1 грани.

На рисунке ниже показано, что в центр гранецентрированной кубической элементарной ячейки в координатах 1/2,1/2,1/2.Любая частица в этой точке касается частиц в центры шести граней элементарной ячейки.

Другие октаэдрические отверстия в гранецентрированной кубической элементарной ячейке находятся по краям ячейки, как показано на рисунке ниже.

Если ионы Cl ^— занимают узлы решетки элементарная гранецентрированная кубическая ячейка и все октаэдрические отверстия заполненных ионами Na ⁺ , получим элементарную ячейку, показанную на рис. рисунок ниже.

Таким образом, мы можем описать структуру NaCl в терминах Следующая информация.

• NaCl кристаллизуется в кубической элементарной ячейке.
• Длина края клетки составляет 0,5641 нм.
• Имеются ионы Cl ^— в позициях 0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; и 0,1/2,1/2.
• Имеются ионы Na ⁺ в позициях 1/2,1/2,1/2; 1/2,0,0; 0,1/2,0; и 0,0,1/2.

Размещение иона Cl ^– в этих четырех позициях подразумевает наличие иона Cl ^— на каждой из 14 решеток точки, определяющие гранецентрированную кубическую единицу. Размещение Na ⁺ ион в центре элементарной ячейки (1/2,1/2,1/2) и на трех уникальные ребра элементарной ячейки (1/2,0,0; 0,1/2,0; и 0,0,1/2) требует эквивалентного иона Na ⁺ в каждом октаэдре отверстие в элементарной ячейке.

ZnS кристаллизуется в виде кубического плотноупакованного массива S ^2- ионы с ионами Zn ²⁺ в тетраэдрических дырках. S ^2- ионы в этом кристалле занимают те же позиции, что и Cl ^— ионы в NaCl. Единственная разница между этими кристаллами заключается в расположение положительных ионов. На рисунке ниже показано, что тетраэдрические отверстия в гранецентрированной кубической элементарной ячейке находятся в углы элементарной ячейки в координатах 1/4,1/4,1/4. Ан атом с этими координатами коснулся бы атома в этом углу а также атомы в центрах трех граней, образующих этот угол.Хотя это трудно увидеть без трехмерная модель, четыре атома, окружающие это отверстие расположены по углам тетраэдра.

Так как углы элементарной кубической ячейки одинаковы, то должно быть четырехгранное отверстие в каждом из восьми углов элементарная гранецентрированная кубическая ячейка. Если ионы S ^2- занимают точки решетки гранецентрированной кубической элементарной ячейки и Zn ²⁺ ионы упакованы в каждую вторую тетраэдрическую дырку, мы получаем элементарная ячейка ZnS показана на рисунке ниже.

Таким образом, структуру ZnS можно описать следующим образом.

• ZnS кристаллизуется в кубической элементарной ячейке.
• Длина края клетки 0,5411 нм.
• Имеются ионы S ^2- в позициях 0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; и 0,1/2,1/2.
• Имеются ионы Zn ²⁺ в позициях 1/4,1/4,1/4; 1/4,3/4,3/4; 3/4,1/4,3/4; и 3/4,3/4,1/4.

Обратите внимание, что в этот кристалл, потому что на каждый S ^2- приходится два тетраэдрических отверстия. ион в наиболее плотно упакованном массиве этих ионов.

Элементарные ячейки: измерение Расстояние между частицами

Никель — один из металлов, кристаллизующихся в кубической форме. плотно упакованная структура. Если учесть, что атом никеля имеет массу всего 9,75 х 10 ^-23 г и ионный радиус всего 1,24 x 10 90 471 -10 90 472 м, это замечательное достижение уметь описать структуру этого металла. Очевидное вопрос: откуда мы знаем, что никель упаковывается в кубический наиболее плотно упакованная структура?

Единственный способ определить структуру вещества на атомном Масштаб заключается в использовании зонда еще меньшего размера.Один из многих полезные зонды для изучения материи в таком масштабе электромагнитное излучение.

В 1912 году Макс ван Лауэ обнаружил, что рентгеновские лучи, попавшие в поверхности кристалла дифрагировали в узоры, напоминающие узоры, возникающие при прохождении света через очень узкую щель. Вскоре после этого Уильям Лоуренс Брэгг, который только что получил степень бакалавра физики в Кембридже, объяснил результаты ван Лауэ с помощью уравнения, известного как Брэгга. уравнение , которое позволяет нам рассчитать расстояние между плоскостях атомов в кристалле по картине дифракции рентгеновские лучи известной длины волны.

п = 2 d sin T

Образец, по которому рентгеновские лучи дифрагируют на металлическом никеле предполагает, что этот металл упаковывается в элементарную кубическую ячейку с расстояние между плоскостями атомов 0,3524 нм. Таким образом длина ребра ячейки в этом кристалле должна быть 0,3524 нм. Знаю это никель кристаллизуется в кубической элементарной ячейке недостаточно. Мы все еще должны решить, является ли это простой кубической, объемно-центрированной кубической, или гранецентрированная кубическая элементарная ячейка.Это можно сделать, измерив плотность металла.

Элементарные ячейки: определение Элементарная ячейка кристалла

Атомы на углах, ребрах и гранях элементарной ячейки разделены более чем одной элементарной ячейкой, как показано на рисунке ниже. Атом на грани разделен двумя элементарными ячейками, поэтому только половина атом принадлежит каждой из этих ячеек. Атом на краю разделены четырьмя элементарными ячейками, а атом на углу разделен восемь элементарных ячеек.Таким образом, только четверть атома на ребре и одна восьмая часть атома на углу может быть отнесена к каждому из элементарные ячейки, которые разделяют эти атомы.

Если никель кристаллизовался в простой кубической элементарной ячейке, то будет атом никеля на каждом из восьми углов ячейки. Поскольку только одна восьмая часть этих атомов может быть отнесена к данному элементарная ячейка, каждая элементарная ячейка в простой кубической структуре будет иметь один чистый атом никеля.

Простая кубическая структура:

8 углов x 1/8 = 1 атом

Если бы никель образовывал объемно-центрированную кубическую структуру, быть два атома на элементарную ячейку, потому что атом никеля в центре тела не будет делиться ни с какими другими элементарными ячейками.

Объемно-центрированная кубическая конструкция:

(8 углов x 1/8) + 1 тело = 2 атома

Если никель кристаллизовался в гранецентрированной кубической структуре, шесть атомов на гранях элементарной ячейки внесли бы три чистые атомы никеля, всего четыре атома на элементарную ячейку.

Гранецентрированная кубическая структура:

(8 углов x 1/8) + (6 граней x 1/2) = 4 атома

Поскольку они имеют разное количество атомов в элементарной ячейке, каждая из этих структур будет иметь разную плотность. Давайте поэтому рассчитывайте плотность никеля на основе каждого из этих структуры и длина ребра элементарной ячейки для никеля, приведенные в предыдущий участок: 0,3524 нм. Для этого нам нужно знать объем элементарной ячейки в кубических сантиметрах и масса один атом никеля.

Объем ( V ) элементарной ячейки равен длина ребра ячейки ( a ) в кубе.

В = a ³ = (0,3524 нм) ³ = 0,04376 нм ³

Так как в метре 10 ⁹ нм и 100 см в метр, в см должно быть 10 ⁷ нм.

Следовательно, мы можем перевести объем элементарной ячейки в см ³ следующим образом.

Массу атома никеля можно рассчитать по атомному вес этого металла и число Авогадро.

Плотность никеля, если он кристаллизуется в простой кубической структуры, следовательно, будет 2,23 г/см ³ , до трех значимые фигуры.

Простая кубическая структура:

Потому что в элементарной ячейке было бы вдвое больше атомов, если бы никель кристаллизуется в объемно-центрированную кубическую структуру, плотность никеля в этой структуре была бы вдвое больше.

Объемно-центрированная кубическая конструкция:

На элементарную ячейку в гранецентрированной кубическая структура и плотность никеля в этой структуре будет быть в четыре раза больше.

Гранецентрированная кубическая структура:

Экспериментальное значение плотности никеля составляет 8,90 г/см ³ . Очевидный вывод состоит в том, что никель кристаллизуется в гранецентрированная кубическая элементарная ячейка и, следовательно, имеет кубическую плотно упакованная структура.

Элементарные ячейки: расчет Металлические или ионные радиусы

Можно найти оценки радиусов большинства атомов металлов. Где откуда эти данные? Откуда мы знаем, например, что радиус атома никеля равен 0,1246 нм?

Никель кристаллизуется в элементарной гранецентрированной кубической ячейке с длина ребра ячейки 0,3524 нм для расчета радиуса никеля атом.

Показана одна из граней гранецентрированной кубической элементарной ячейки на рисунке ниже.

Судя по этому рисунку, диагональ на лицевой стороне этого Элементарная ячейка в четыре раза больше радиуса атома никеля.

Теорема Пифагора утверждает, что диагональ прямоугольный треугольник равен сумме квадратов другого стороны. Таким образом, диагональ, проходящая через грань элементарной ячейки, равна связано с длиной ребра элементарной ячейки следующим уравнением.

Извлечение квадратного корня из обеих сторон дает следующее результат.

Теперь подставим в это уравнение соотношение между диагональ через грань этой элементарной ячейки и радиус атом никеля:

Решение для радиуса атома никеля дает значение 0,1246 нм:

Аналогичный подход можно использовать для оценки размера ион. Начнем с того, что длина ребра ячейки в хлорида цезия составляет 0,4123 нм, чтобы рассчитать расстояние между центры ионов Cs ⁺ и Cl ^— в CsCl.

CsCl кристаллизуется в простой кубической элементарной ячейке Cl ^— ионы с ионом Cs ⁺ в центре тела ячейки, как показано на рисунке ниже.

Прежде чем мы сможем вычислить расстояние между центрами ионы Cs ⁺ и Cl ^— в этом кристалле, однако мы должны признать правомерность одного из простейших предположения об ионных твердых телах: положительные и отрицательные ионы которые образуют эти кристаллы касания.

Таким образом, мы можем предположить, что диагональ тела элементарная ячейка CsCl эквивалентна сумме радиусов двух Ионы Cl ^— и два иона Cs ⁺ .

Трехмерный эквивалент теоремы Пифагора предполагает, что квадрат диагонали через тело куб это сумма квадратов трех сторон.

Извлечение квадратного корня из обеих частей этого уравнения дает следующий результат.

Если длина ребра клетки в CsCl равна 0,4123 нм, диагональ поперек тела в этой элементарной ячейке составляет 0,7141 нм.

Сумма ионных радиусов Cs ⁺ и Cl ^— ионов составляет половину этого расстояния, или 0,3571 нм.

Если бы у нас была оценка размера Cs ⁺ или ион Cl ^— , мы могли бы использовать результаты для расчета радиус другого иона. Ионный радиус Cl ^— ион равен 0. 181 нм. Подставляя это значение в последнее уравнение дает значение 0,176 нм для радиуса Cs ⁺ ион.

Результаты этого расчета находятся в разумном согласии со значением 0,169 нм, известным для радиуса Cs ⁺ ион. Расхождение между этими значениями отражает тот факт, что ионные радиусы варьируются от одного кристалла к другому. Табулированный значения представляют собой средние результаты ряда вычислений этот тип.

Атомск — Учебное пособие — Элементарные ячейки

Учебное пособие: элементарные ячейки для различных типов решеток

В этом уроке вы узнаете, как создавать элементарные ячейки для различных типов решеток с помощью Atomsk. Вы также узнаете, как создавать выходные файлы для различных программ визуализации.

▶ Дополнительную информацию см. на соответствующей странице документации.

Генерация элементарных ячеек может быть полезна для создания иллюстраций, например.грамм. объяснить основы кристаллографии студентам или широкой публике. В моделировании атомного масштаба это часто является первым шагом перед созданием более сложных систем. Atomsk можно использовать для генерации элементарных ячеек благодаря режиму «—create».

В дополнение к этому руководству рекомендуется прочитать страницу документации режима «—create».

1. Элементарная гранецентрированная кубическая (ГЦК) ячейка из алюминия и меди

Многие металлы, такие как алюминий, медь или никель, кристаллизуются в ГЦК-решетку.

Начнем с алюминия (обозначение Al). Алюминий представляет собой ГЦК-металл с постоянной решетки a = 4,046 Å при температуре окружающей среды. Чтобы сгенерировать элементарную ячейку, Atomsk можно выполнить так:

atomsk —create fcc 4.046 Al aluminium.xsf

ⓘ Эта постоянная решетки приведена в качестве примера и должна быть скорректирована в зависимости от типа моделирования, которое вы хотите выполнить (DFT, межатомный потенциал и т. д.).

С помощью этой команды Атомск запишет позиции атомов в выходной файл «aluminium.xsf». Это текстовый файл, и если вы откроете его в текстовом редакторе (например, Блокноте), он будет выглядеть так:

алюминий.xsf

# Fcc Al с ориентацией X=[100], Y=[010], Z=[001].
Crystal
Primvec
4.04600000 0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 г. 4,04600000 0.00000000
0.00000000 0,00000000 4.0460000

000 4,04600000

Векторы элементарной ячейки и положения атомов записываются в формате XSF. Видно, что кубическая элементарная ячейка ГЦК-решетки содержит 4 атома.Первая строка (начинающаяся с #) — это комментарий, который автоматически генерируется Atomsk. Этот файл можно открыть с помощью XCrySDen или VESTA, что позволяет визуализировать элементарную ячейку в 3-D:

Теперь построим элементарную ячейку из меди. Медь (обозначение Cu) также имеет ГЦК-решетку, но с другим параметром решетки: a = 3,597 Å. Эта элементарная ячейка может быть сгенерирована с помощью:

атомск —создать ГЦК 3,597 Cu меди.xsf cfg

Обратите внимание на дополнительный «cfg» в конце командной строки.На этот раз Atomsk сгенерирует два выходных файла: «copper.xsf» и «copper.cfg». Последнее можно визуализировать с помощью Atomeye, как показано ниже:

Здесь мы наблюдаем поведение, характерное для Atomeye. Элементарная ячейка очень мала, поэтому Atomeye автоматически дублирует ее дважды в каждом направлении и пишет (в своем терминале), что в системе «24 атома». Это всего лишь артефакт визуализации, и открытие файла «copper.cfg» в текстовом редакторе убедит вас, что атомов в этой системе действительно всего 4.

Кроме того, файлы в формате CFG также можно визуализировать с помощью OVITO, который показывает правильное количество атомов:

2. Объемно-центрированная кубическая (ОЦК) элементарная ячейка железа и вольфрама

В качестве второго примера обратимся к другому типу решетки: объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетке. Это решетка многих переходных металлов, таких как железо (Fe) или вольфрам (W).

Очевидно, что в командной строке параметр «fcc» должен быть заменен на «bcc».Например, ОЦК-железо имеет параметр решетки 2,856 Å, поэтому нужно использовать:

атомск —создать bcc 2.856 Fe xsf cfg

Обратите внимание, что в этой командной строке мы не указали имя выходного файла. Указаны только форматы выходных файлов: «xsf» и «cfg». В этой ситуации Atomsk будет использовать имя элемента (здесь «Fe») для создания имени файла. Итак, два файла будут написаны Atomsk: «Fe.cfg», который можно визуализировать с помощью Atomeye, и «Fe.xsf», который можно открыть с помощью XCrySDen.

Аналогично, для создания элементарной ячейки вольфрама с постоянной решетки 3,155 Å:

атомск —создать bcc 3,155 Вт xsf

Аналогично, Atomsk будет использовать символ элемента («W») для создания имени выходного файла: «W.xsf». Этот файл можно открыть с помощью XCrySDen или с помощью VESTA:

3. Решетка каменной соли с двумя типами атомов

Предыдущие типы решеток довольно просты и применимы только к одному типу атомов. Некоторые решетки могут содержать несколько химических веществ, например, решетка поваренной соли: хлорид натрия (NaCl) с решеткой каменной соли.

Атомск может генерировать этот тип решетки по ключевому слову « каменная соль «. После постоянной решетки (5,64 Å для NaCl) необходимо указать два химических символа:

атомск —создать каменную соль 5,64 Na Cl xsf

По этим инструкциям Атомск построит элементарную ячейку каменной соли NaCl и запишет ее в файл «NaCl.xsf», который можно визуализировать с помощью ВЕСТА:

4. Шестиугольные решетки

Режим « --create » не ограничивается кубическими решетками.Можно также генерировать гексагональные решетки, а именно гексагональные плотноупакованные (ГПУ), вюрцит или графит.

Создадим элементарную ячейку из ГПУ магния. Необходимо указать две константы решетки, a и c :

atomsk —create hcp 3.21 5.213 Mg Mg.xsf

Визуализация (здесь с помощью ВЕСТА) показывает, что действительно была создана элементарная ячейка ГПУ магния:

Если вы хотите получить эквивалентную ортогональную ячейку (но при этом учитывающую шестиугольную решетку), вы можете использовать опцию «-orthogonal-cell».Эта опция ищет линейные комбинации векторов ячеек, чтобы получить прямоугольную рамку, а затем заполняет эту новую рамку атомами. В случае магния hcp вы можете использовать следующую команду:

atomsk —create hcp 3.21 5.213 Mg -orthogonal-cell Mg.xsf

Если вы визуализируете эту систему, то увидите, что это ортогональная ячейка гпу магния:

Аналогично, Атомск также позволяет генерировать графитовую решетку:

атомск —создать графит 3.21 5.213 C графит.xsf

Здесь VESTA отображает связи и отображает атомы углерода, которые находятся за пределами коробки. Но на самом деле текстовый файл содержит только четыре атома элементарной ячейки графита, в чем вы можете убедиться, открыв его в текстовом редакторе.

6. Прочие конструкции

Что делать, если я хочу создать неподдерживаемую элементарную ячейку? Тогда лучше всего получить файл с описанием структуры из другого источника. В частности, многие структуры описаны в файлах формата CIF, которые можно получить из онлайн-баз данных, таких как Crystallography Open Database или базы данных American Mineralogist. Вы также можете попробовать ввести название вашего материала, а затем «CIF» в вашей любимой поисковой системе. В этом руководстве объясняется, как Atomsk может импортировать файлы CIF.

В качестве альтернативы, если вы знаете пространственную группу и положение Викоффа соединения, вы можете использовать специальное программное обеспечение для построения элементарной ячейки. Например, в VESTA встроена возможность построения атомарных структур (откройте VESTA, выберите Файл → Новая структура).

7. Дублирование элементарной ячейки для формирования суперячейки

Часто требуется дублировать элементарную ячейку материала для создания более крупного кристалла, называемого «суперячейкой».Этого можно добиться с помощью опции «-duplicate». Эту опцию можно использовать в сочетании с режимом «—create», например, следующее создаст суперячейку из вольфрама, содержащую 3 элементарных ячейки по X, 4 по Y и 10 по Z:

atomsk —create bcc 3. 155 W -duplicate 3 4 10 xsf

Или, если у вас уже есть файл, содержащий элементарную ячейку (или любую атомную систему), то вы можете его продублировать:

атомск начальный.xsf — дубликат 3 4 10 окончательный.Конфигурация

Дублирование всегда использует векторы ячеек в качестве векторов трансляции, чтобы поддерживать периодичность кристалла. Так что, если ваши векторы прямоугольников не ортогональны или не выровнены с декартовыми осями, не беспокойтесь: Atomsk использует для дублирования не декартовы направления, а векторы исходной ячейки, какими бы они ни были.

8. Дополнительные замечания

Как видно из предыдущих примеров, генерировать файлы для визуализации с помощью Atomsk очень просто.Если у вас есть любимое программное обеспечение для визуализации, вы можете адаптировать следующие руководства для создания файлов в подходящем формате. Например, если вы знакомы с Atomeye или OVITO, записывайте файлы данных в формате CFG. Если вы больше знакомы с VESTA или XCrySDen, используйте формат XSF.

Если вы хотите изменить ориентацию кристалла, перейдите к следующему уроку.

Теперь включите свое воображение! Вы можете изменить химические элементы по желанию.Вы также можете прочитать документацию по режиму --create и сгенерировать элементарные ячейки для других типов решеток и даже для создания нанотрубок.

10.6 Решетчатые структуры в кристаллических твердых телах – Химия

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Описать расположение атомов и ионов в кристаллических структурах
• Вычисление ионных радиусов с использованием размеров элементарной ячейки
• Объясните использование рентгеновской дифракции для определения кристаллических структур

Более 90% природных и искусственных твердых тел являются кристаллическими.Большинство твердых тел образуются с регулярным расположением их частиц, потому что общее притяжение между частицами максимизируется, а общая межмолекулярная энергия минимизируется, когда частицы упаковываются наиболее эффективно. Регулярное расположение на атомном уровне часто отражается на макроскопическом уровне. В этом модуле мы рассмотрим некоторые детали структуры металлических и ионных кристаллических твердых тел и узнаем, как эти структуры определяются экспериментально.

Мы начнем обсуждение кристаллических твердых тел с рассмотрения элементарных металлов, которые относительно просты, поскольку каждый из них содержит только один тип атома. Чистый металл представляет собой кристаллическое твердое вещество, в котором атомы металла плотно упакованы в повторяющуюся структуру. Некоторые свойства металлов в целом, такие как их ковкость и пластичность, в значительной степени обусловлены наличием одинаковых атомов, расположенных в регулярном порядке. Различные свойства одного металла по сравнению с другим частично зависят от размеров их атомов и особенностей их пространственного расположения.В следующих разделах мы рассмотрим сходства и различия четырех наиболее распространенных геометрических форм кристаллов металлов.

Структуру кристаллического твердого тела, будь то металл или нет, лучше всего описать, рассматривая его простейшую повторяющуюся единицу, которая называется его элементарной ячейкой . Элементарная ячейка состоит из точек решетки, которые представляют собой расположение атомов или ионов. Таким образом, вся структура состоит из этой элементарной ячейки, повторяющейся в трех измерениях, как показано на рисунке 1.

Давайте начнем наше исследование структуры кристаллической решетки и элементарных ячеек с самой простой структуры и самой простой элементарной ячейки. Чтобы визуализировать это, представьте, что вы берете большое количество одинаковых сфер, таких как теннисные мячи, и равномерно размещаете их в контейнере. Простейший способ сделать это — создать слои, в которых сферы одного слоя находятся непосредственно над сферами нижнего слоя, как показано на рисунке 2. Эта компоновка называется простой кубической структурой , а элементарная ячейка называется простой кубической элементарной ячейкой или примитивной кубической элементарной ячейкой.

В простой кубической структуре сферы не упакованы так плотно, как могли бы быть, и они «заполняют» только около 52% объема контейнера.Это относительно неэффективная схема, и только один металл (полоний, Po) кристаллизуется в простой кубической структуре. Как показано на рис. 3, твердое тело с таким типом расположения состоит из плоскостей (или слоев), в которых каждый атом контактирует только с четырьмя ближайшими соседями в своем слое; один атом непосредственно над ним в слое выше; и один атом непосредственно под ним в слое ниже. Количество других частиц, с которыми контактирует каждая частица в кристаллическом твердом теле, известно как ее координационное число . Таким образом, для атома полония в простой кубической матрице координационное число равно шести.

В простой кубической решетке элементарная ячейка, которая повторяется во всех направлениях, представляет собой куб, определяемый центрами восьми атомов, как показано на рисунке 4. Атомы в соседних углах этой элементарной ячейки контактируют друг с другом, поэтому длина ребра этой ячейка равна двум атомным радиусам или одному атомному диаметру.Кубическая элементарная ячейка содержит только те части этих атомов, которые находятся внутри нее. Поскольку атом в углу простой кубической элементарной ячейки содержится всего в восьми элементарных ячейках, только одна восьмая часть этого атома находится внутри конкретной элементарной ячейки. А поскольку каждая простая кубическая элементарная ячейка имеет по одному атому в каждом из своих восьми «углов», в одном простом кубическом элементе содержится [латекс]8\;\times\;\frac{1}{8} = 1[/латекс] атом. ячейка.

Пример 1

Расчет атомного радиуса и плотности металлов, часть 1
Длина ребра элементарной ячейки альфа-полония составляет 336 пм.

а) Определите радиус атома полония.

(b) Определите плотность альфа-полония.

Раствор
Альфа-полоний кристаллизуется в простой кубической элементарной ячейке:

(а) Два соседних атома Ро контактируют друг с другом, поэтому длина ребра этой ячейки равна двум радиусам атомов Ро: l = 2 r .Следовательно, радиус Po равен [латекс]r = \frac{\text{l}}{2} = \frac{336\;\text{pm}}{2} = 168\;\text{pm}[ /латекс].

(b) Плотность определяется как [латекс]\текст{плотность} = \фракция{\текст{масса}}{\текст{объем}}[/латекс]. Плотность полония можно найти, определив плотность его элементарной ячейки (масса, содержащаяся в элементарной ячейке, деленная на объем элементарной ячейки). Поскольку элементарная ячейка Po содержит одну восьмую атома Po в каждом из восьми углов, элементарная ячейка содержит один атом Po.

Массу элементарной ячейки Po можно найти по формуле:

[латекс]1\;\text{Po\;единица\;ячейка}\;\times\;\frac{1\;\text{Po\;атом}}{1\;\text{Po\;единица \;cell}}\;\times\;\frac{1\;\text{mol\;Po}}{6.3[/латекс]

Поскольку фактическая плотность Ni не близка к этой, Ni не образует простой кубической структуры.

Большинство металлических кристаллов являются одним из четырех основных типов элементарных ячеек. Сейчас мы сосредоточимся на трех кубических элементарных ячейках: простой кубической (которую мы уже видели), объемно-центрированной кубической элементарной ячейке и гранецентрированной кубической элементарной ячейке — все они показаны на рисунке 5. (Обратите внимание, что на самом деле существует семь различных систем решеток, некоторые из которых имеют более одного типа решетки, всего 14 различных типов элементарных ячеек. Мы оставляем более сложную геометрию на потом в этом модуле.)

Некоторые металлы кристаллизуются в виде кубической элементарной ячейки с атомами во всех углах и атомом в центре, как показано на рисунке 6. Это называется объемно-центрированным кубическим (ОЦК) твердым телом . Атомы в углах элементарной ячейки ОЦК не контактируют друг с другом, а контактируют с атомом в центре.Элементарная ячейка ОЦК содержит два атома: одну восьмую атома в каждом из восьми углов ([латекс]8\;\times\;\frac{1}{8} = 1[/латекс] атом из углов) плюс один атом от центра. Любой атом в этой структуре касается четырех атомов в слое над ним и четырех атомов в слое под ним. Таким образом, атом в ОЦК-структуре имеет координационное число восемь.

Атомы в ОЦК-структурах гораздо более эффективно упакованы, чем в простой кубической структуре, занимая около 68% всего объема. Изоморфные металлы со структурой ОЦК включают K, Ba, Cr, Mo, W и Fe при комнатной температуре. (Элементы или соединения, кристаллизующиеся с одинаковой структурой, называются изоморфными .)

Многие другие металлы, такие как алюминий, медь и свинец, кристаллизуются в форме кубической элементарной ячейки с атомами во всех углах и в центре каждой грани, как показано на рисунке 7.Такое расположение называется гранецентрированным кубическим (FCC) телом . Элементарная ячейка FCC содержит четыре атома: одна восьмая атома в каждом из восьми углов ([латекс]8\;\times\;\frac{1}{8} = 1[/латекс] атом из углов) и по половине атома на каждой из шести граней ([латекс]6\;\times\;\frac{1}{2} = 3[/латекс] атома с граней). Атомы в углах касаются атомов в центрах соседних граней по диагоналям граней куба. Поскольку атомы находятся в одинаковых точках решетки, они имеют одинаковое окружение.

Атомы в FCC-конфигурации упакованы как можно плотнее, при этом атомы занимают 74% объема. Эта структура также называется кубической плотнейшей упаковкой (CCP) . В CCP есть три повторяющихся слоя шестиугольно расположенных атомов. Каждый атом контактирует с шестью атомами в своем слое, с тремя в верхнем слое и с тремя в нижнем слое.В этом расположении каждый атом касается 12 ближайших соседей и, следовательно, имеет координационное число 12. Тот факт, что расположения FCC и CCP эквивалентны, может быть не сразу очевиден, но почему они на самом деле имеют одну и ту же структуру, показано на рисунке 8.

Поскольку более плотная упаковка максимизирует общее притяжение между атомами и минимизирует общую межмолекулярную энергию, атомы в большинстве металлов упаковываются таким образом. Мы обнаруживаем два типа плотнейшей упаковки в простых металлических кристаллических структурах: CCP, с которой мы уже сталкивались, и гексагональная плотнейшая упаковка (HCP) , показанная на рисунке 9.Оба состоят из повторяющихся слоев шестиугольно расположенных атомов. В обоих типах второй слой (В) помещается на первый слой (А), так что каждый атом во втором слое находится в контакте с тремя атомами в первом слое. Третий слой расположен одним из двух способов. В ГПУ атомы в третьем слое находятся непосредственно над атомами в первом слое (т. е. третий слой также относится к типу А), а укладка состоит из чередующихся плотноупакованных слоев типа А и типа В (т. е. ABABAB⋯). В CCP атомы в третьем слое не выше атомов ни в одном из первых двух слоев (т.т. е. третий слой — тип C), а стекинг состоит из чередующихся плотноупакованных слоев типа A, типа B и типа C (т. е. ABCABCABC⋯). Около двух третей всех металлов кристаллизуются в плотноупакованных массивах с координационными числами 12. Металлы, которые кристаллизуются в ГПУ-структуре, включают Cd, Co, Li, Mg, Na и Zn, а металлы, которые кристаллизуются в ГПУ-структуре, включают Ag. , Al, Ca, Cu, Ni, Pb и Pt.

Пример 2

Расчет атомного радиуса и плотности металлов, часть 2
Кальций кристаллизуется в гранецентрированной кубической структуре. Длина ребра его элементарной ячейки составляет 558,8 пм.

(а) Каков атомный радиус Са в этой структуре?

(b) Рассчитайте плотность Ca.

Раствор

(а) В ГЦК-структуре атомы Са контактируют друг с другом по диагонали грани, поэтому длина диагонали равна четырем атомным радиусам Са (d = 4 r ).2}{16}} = 197,6\;\text{pmg\;для\;a\;Ca\;радиуса}[/latex].

(b) Плотность определяется как [латекс]\текст{плотность} = \фракция{\текст{масса}}{\текст{объем}}[/латекс]. Плотность кальция можно найти, определив плотность его элементарной ячейки: например, массу, содержащуюся внутри элементарной ячейки, деленную на объем элементарной ячейки. Элементарная гранецентрированная ячейка Ca имеет одну восьмую атома в каждом из восьми углов ([латекс]8\;\times\;\frac{1}{8} = 1[/латекс] атом) и один- половина атома на каждой из шести граней [латекс]6\;\times\;\frac{1}{2} = 3[/латекс]), всего четыре атома в элементарной ячейке. 3[/латекс]

Проверьте свои знания
Серебро кристаллизуется в структуре FCC. Длина ребра его элементарной ячейки составляет 409 пм.

(а) Каков атомный радиус Ag в этой структуре?

(b) Рассчитайте плотность Ag.

Ответ:

(а) 144 часа; (б) 10,5 г/см ³

Обычно элементарная ячейка определяется длинами трех осей ( a , b и c ) и углами ( α , β и γ ) между ними, как показано на рисунке 10.Оси определяются как длины между точками пространственной решетки. Следовательно, оси элементарных ячеек соединяют точки с одинаковыми средами.

Существует семь различных систем решеток, некоторые из которых имеют более одного типа решетки, всего четырнадцать различных элементарных ячеек, форма которых показана на рисунке 11.

Ионные кристаллы состоят из двух или более различных типов ионов, которые обычно имеют разные размеры. Упаковка этих ионов в кристаллическую структуру более сложна, чем упаковка атомов металлов того же размера.

Большинство одноатомных ионов ведут себя как заряженные сферы, и их притяжение к ионам противоположного заряда одинаково во всех направлениях. Следовательно, устойчивые структуры для ионных соединений возникают (1) когда ионы одного заряда окружены как можно большим количеством ионов противоположного заряда и (2) когда катионы и анионы контактируют друг с другом.Структуры определяются двумя основными факторами: относительными размерами ионов и соотношением числа положительных и отрицательных ионов в соединении.

В простых ионных структурах мы обычно обнаруживаем, что анионы, которые обычно крупнее катионов, расположены в наиболее плотно упакованном массиве. (Как было замечено ранее, дополнительные электроны, притянутые к одному и тому же ядру, делают анионы больше, а меньшее количество электронов, притянутых к тому же ядру, делают катионы меньше по сравнению с атомами, из которых они образованы.) Меньшие катионы обычно занимают один из двух типов 90 678 отверстий 90 679 (или промежутков), остающихся между анионами. Меньшее из отверстий находится между тремя анионами в одной плоскости и одним анионом в соседней плоскости. Четыре аниона, окружающие это отверстие, расположены в углах тетраэдра, поэтому отверстие называется тетраэдрическим отверстием . Дырка большего типа находится в центре шести анионов (три в одном слое и три в соседнем слое), расположенных в углах октаэдра; это называется октаэдрическим отверстием .На рисунке 12 показаны оба этих типа отверстий.

В зависимости от относительных размеров катионов и анионов катионы ионного соединения могут занимать тетраэдрические или октаэдрические отверстия, как показано на рисунке 13. Относительно небольшие катионы занимают тетраэдрические отверстия, а более крупные катионы занимают октаэдрические отверстия. Если катионы слишком велики, чтобы поместиться в октаэдрические отверстия, анионы могут принять более открытую структуру, такую ​​как простая кубическая матрица.Тогда более крупные катионы могут занимать более крупные кубические отверстия, что стало возможным благодаря более открытому промежутку.

Для каждого аниона в массиве анионов HCP или CCP имеется две тетраэдрические дырки. Соединение, которое кристаллизуется в наиболее плотно упакованном массиве анионов с катионами в тетраэдрических отверстиях, может иметь максимальное соотношение катион: анион 2: 1; все тетраэдрические отверстия заполнены в этом соотношении.Примеры включают Li ₂ O, Na ₂ O, Li ₂ S и Na ₂ S. Соединения с соотношением менее 2:1 также могут кристаллизоваться в плотно упакованном массиве анионов с катионами. в тетраэдрических дырках, если подходят ионные размеры. Однако в этих соединениях часть тетраэдрических отверстий остается вакантной.

Пример 3

Заполнение тетраэдрических отверстий
Сульфид цинка является важным промышленным источником цинка, а также используется в качестве белого пигмента в красках.Сульфид цинка кристаллизуется с ионами цинка, занимающими половину тетраэдрических отверстий в плотно упакованном массиве сульфидных ионов. Какова формула сульфида цинка?

Решение
Поскольку на анион (сульфид-ион) приходится две тетраэдрические дырки, и половина этих дырок занята ионами цинка, должно быть [латекс]\frac{1}{2}\;\times\; 2[/латекс] или 1, ион цинка на ион сульфида. Таким образом, формула ZnS.

Check Your Learning
Селенид лития можно описать как плотно упакованный массив ионов селенида с ионами лития во всех тетраэдрических отверстиях.Какова формула селенида лития?

Отношение октаэдрических дырок к анионам в структуре HCP или CCP составляет 1:1. Таким образом, соединения с катионами в октаэдрических отверстиях в наиболее плотно упакованном массиве анионов могут иметь максимальное соотношение катион: анион 1: 1. Например, в NiO, MnS, NaCl и KH все октаэдрические отверстия заполнены. Соотношения менее 1:1 наблюдаются, когда некоторые октаэдрические отверстия остаются пустыми.

Пример 4

Стехиометрия ионных соединений
Сапфир представляет собой оксид алюминия.Оксид алюминия кристаллизуется с ионами алюминия в двух третях октаэдрических отверстий в плотно упакованном массиве оксидных ионов. Какова формула оксида алюминия?

Раствор
Поскольку на анион (ион оксида) приходится одна октаэдрическая дырка, и только две трети этих дырок заняты, отношение алюминия к кислороду должно быть [латекс]\frac{2}{3}:1[ /latex], что даст [latex]\text{Al}_{2/3}\text{O}[/latex]. Простейшее соотношение целых чисел — 2:3, поэтому формула Al ₂ O ₃ .

Проверьте свои знания
Белый пигмент оксида титана кристаллизуется с ионами титана в половине октаэдрических отверстий в плотно упакованном массиве оксидных ионов. Какова формула оксида титана?

В простом кубическом массиве анионов имеется одно кубическое отверстие, которое может быть занято катионом для каждого аниона в массиве. В CsCl и других соединениях с такой же структурой все кубические отверстия заняты. Половина кубических отверстий занята в SrH ₂ , UO ₂ , SrCl ₂ и CaF ₂ .

Различные типы ионных соединений часто кристаллизуются в одну и ту же структуру, когда относительные размеры их ионов и их стехиометрия (две основные характеристики, определяющие структуру) схожи.

Многие ионные соединения кристаллизуются с кубическими элементарными ячейками, и мы будем использовать эти соединения для описания общих черт ионных структур.

Когда ионное соединение состоит из катионов и анионов одинакового размера в соотношении 1:1, оно обычно образует простую кубическую структуру.Примером этого является хлорид цезия, CsCl (показан на рисунке 14), где Cs ⁺ и Cl ^— имеют радиусы 174 пм и 181 пм соответственно. Мы можем представить себе это как ионы хлорида, образующие простую кубическую элементарную ячейку с ионом цезия в центре; или как ионы цезия, образующие элементарную ячейку с ионом хлорида в центре; или как простые кубические элементарные ячейки, образованные ионами Cs ⁺ , перекрывающимися элементарными ячейками, образованными ионами Cl ^— . Ионы цезия и ионы хлора соприкасаются по диагоналям тел элементарных ячеек.На элементарную ячейку приходится один ион цезия и один ион хлорида, что дает стехиометрию 1:1, требуемую формулой для хлорида цезия. Обратите внимание, что в центре ячейки нет точки решетки, а CsCl не является ОЦК-структурой, поскольку ион цезия не идентичен иону хлорида.

Мы сказали, что расположение узлов решетки произвольно. Это иллюстрируется альтернативным описанием структуры CsCl, в которой узлы решетки расположены в центрах ионов цезия. В этом описании ионы цезия расположены в узлах решетки по углам ячейки, а ион хлора — в центре ячейки. Две элементарные ячейки различны, но они описывают идентичные структуры.

Когда ионное соединение состоит из катионов и анионов в соотношении 1:1, которые значительно различаются по размеру, оно обычно кристаллизуется с элементарной ячейкой FCC, как показано на рисунке 15.Примером этого является хлорид натрия, NaCl, с Na ⁺ и Cl ^— , имеющими радиусы 102 пм и 181 пм соответственно. Мы можем представить это как ионы хлорида, образующие ячейку FCC, с ионами натрия, расположенными в октаэдрических отверстиях в середине краев ячейки и в центре ячейки. Ионы натрия и хлора соприкасаются друг с другом по краям клетки. Элементарная ячейка содержит четыре иона натрия и четыре иона хлорида, что дает стехиометрию 1:1, требуемую формулой NaCl.

Рисунок 15.

Кубическая форма сульфида цинка, цинковая обманка, также кристаллизуется в элементарной ячейке ГЦК, как показано на рисунке 16. Эта структура содержит ионы сульфида в узлах решетки ГЦК решетки. (Расположение сульфид-ионов идентично расположению хлорид-ионов в хлориде натрия.) Радиус иона цинка составляет всего около 40% от радиуса сульфид-иона, поэтому эти мелкие ионы Zn ²⁺ располагаются в чередующихся тетраэдрических отверстиях, то есть в одной половине тетраэдрических отверстий. В элементарной ячейке четыре иона цинка и четыре сульфидных иона, что дает эмпирическую формулу ZnS.

Элементарная ячейка фторида кальция, подобная показанной на рис. 17, также является элементарной ячейкой FCC, но в этом случае катионы расположены в узлах решетки; эквивалентные ионы кальция расположены в узлах решетки ГЦК решетки. Все тетраэдрические позиции в массиве ГЦК ионов кальция заняты ионами фтора. В элементарной ячейке содержится четыре иона кальция и восемь ионов фтора, что дает соотношение кальция и фтора 1:2, как того требует химическая формула CaF ₂ . Внимательное изучение рисунка 17 выявит простой кубический массив ионов фтора с ионами кальция в одной половине кубических отверстий.Структура не может быть описана в терминах пространственной решетки точек на фторид-ионах, потому что фторид-ионы не все имеют одинаковое окружение. Ориентация четырех ионов кальция относительно ионов фтора различается.

Если мы знаем длину ребра элементарной ячейки ионного соединения и положение ионов в ячейке, мы можем рассчитать ионные радиусы для ионов в соединении, если мы сделаем предположения об индивидуальных формах ионов и контактах.

Пример 5

Расчет ионных радиусов
Длина ребра элементарной ячейки LiCl (NaCl-подобная структура, FCC) составляет 0,514 нм или 5,14 Å. Предполагая, что ион лития достаточно мал, чтобы ионы хлорида находились в контакте, как показано на рисунке 15, рассчитайте ионный радиус для иона хлорида.

Примечание. Единица длины ангстрем, Å, часто используется для представления размеров в атомном масштабе и эквивалентна 10 ⁻¹⁰ м.

Раствор
На поверхности элементарной ячейки LiCl ионы хлорида контактируют друг с другом по диагонали грани:

Нарисовав на грани элементарной ячейки прямоугольный треугольник, мы увидим, что длина диагонали равна четырем радиусам хлорида (по одному радиусу от каждого угла хлорида и одному диаметру, равному двум радиусам, от иона хлорида в центре лица), поэтому d = 4 r . {-}\;\text{радиус}[/латекс].

Проверьте свои знания
Длина ребра элементарной ячейки KCl (NaCl-подобная структура, FCC) составляет 6,28 Å. Предполагая анион-катионный контакт вдоль края клетки, рассчитайте радиус иона калия. Радиус иона хлорида составляет 1,82 Å.

Ответ:

Радиус иона калия равен 1,33 Å.

Важно понимать, что значения ионных радиусов, рассчитанные по длинам ребер элементарных ячеек, зависят от многочисленных предположений, таких как идеальная сферическая форма ионов, которые в лучшем случае являются приблизительными.Следовательно, такие расчетные значения сами по себе являются приблизительными, и сравнения не могут быть слишком далекими. Тем не менее, этот метод оказался полезным для расчета ионных радиусов на основе экспериментальных измерений, таких как рентгеноструктурные определения.

Размер элементарной ячейки и расположение атомов в кристалле могут быть определены из измерений дифракции рентгеновских лучей на кристалле, называемой рентгеновской кристаллографией . Дифракция — это изменение направления движения электромагнитной волны, когда она встречает физический барьер, размеры которого сравнимы с размерами длины волны света.Рентгеновские лучи представляют собой электромагнитное излучение с длиной волны, равной расстоянию между соседними атомами в кристаллах (порядка нескольких Å).

Когда пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на кристалл, его лучи рассеиваются во всех направлениях атомами внутри кристалла. Когда рассеянные волны, движущиеся в одном и том же направлении, сталкиваются друг с другом, они подвергаются интерференции , процессу, при котором волны объединяются, что приводит либо к увеличению, либо к уменьшению амплитуды (интенсивности) в зависимости от степени, в которой максимумы объединяющихся волн совпадают. разделены (см. рис. 18).

Когда рентгеновские лучи с определенной длиной волны, λ , рассеиваются атомами в соседних плоскостях кристалла, разделенных расстоянием d , они могут подвергаться конструктивной интерференции, когда разница между расстояниями, пройденными двумя волнами до их комбинация представляет собой целочисленный множитель длины волны n .Это условие выполняется, когда угол дифрагированного луча θ связан с длиной волны и межатомным расстоянием уравнением:

[латекс] n {\ lambda} = 2d \; \ text {sin} \; {\ theta} [/ латекс]

Это соотношение известно как уравнение Брэгга в честь У. Х. Брэгга , английского физика, впервые объяснившего это явление. На рисунке 19 показаны два примера дифрагированных волн от одних и тех же двух плоскостей кристалла. На рисунке слева изображены волны, дифрагированные под углом Брэгга, что приводит к конструктивной интерференции, а на рисунке справа показана дифракция и другой угол, не удовлетворяющий условию Брэгга, что приводит к деструктивной интерференции.

Посетите этот сайт для получения более подробной информации об уравнении Брэгга и симуляторе, позволяющем исследовать влияние каждой переменной на интенсивность дифрагированной волны.

Рентгеновский дифрактометр, такой как показанный на рис. 20, может использоваться для измерения углов, под которыми дифрагируют рентгеновские лучи при взаимодействии с кристаллом, как описано ранее. На основе таких измерений можно использовать уравнение Брэгга для вычисления расстояний между атомами, как показано в следующем примере упражнения.

Пример 6

Использование уравнения Брэгга
В дифрактометре рентгеновские лучи с длиной волны 0,1315 нм использовались для получения дифракционной картины меди. Дифракция первого порядка ( n = 1) происходила под углом θ = 25,25°. Определить расстояние между дифракционными плоскостями в меди.

Решение
Расстояние между плоскостями находится путем решения уравнения Брэгга, nλ = 2 d sin θ , для d .{\circ})} = 0,154\;\text{нм}[/латекс]

Проверьте свои знания
Кристалл с расстоянием между плоскостями, равным 0,394 нм, дифрагирует рентгеновские лучи с длиной волны 0,147 нм. Каков угол дифракции первого порядка?

Рентгеновский кристаллограф Розалинда Франклин

Открытие структуры ДНК в 1953 году Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном является одним из величайших достижений в истории науки. Они были удостоены Нобелевской премии 1962 года по физиологии и медицине вместе с Морисом Уилкинсом , который предоставил экспериментальное доказательство структуры ДНК.Британский химик Розалинда Франклин внесла неоценимый вклад в это монументальное достижение благодаря своей работе по измерению рентгеновских дифракционных изображений ДНК. В начале своей карьеры исследования Франклин о структуре углей оказались полезными для британских военных действий. Переключив свое внимание на биологические системы в начале 1950-х годов, Франклин и докторант Рэймонд Гослинг обнаружили, что ДНК состоит из двух форм: длинное тонкое волокно, образующееся во влажном состоянии (тип «В»), и короткое широкое волокно, образующееся при сушке (тип «В»). введите»).Ее рентгеновские дифракционные изображения ДНК (рис. 21) предоставили важную информацию, которая позволила Уотсон и Крику подтвердить, что ДНК образует двойную спираль, и определить детали ее размера и структуры. Франклин также провел новаторское исследование вирусов и РНК, содержащей их генетическую информацию, обнаружив новую информацию, которая радикально изменила совокупность знаний в этой области. После развития рака яичников Франклин продолжала работать до своей смерти в 1958 году в возрасте 37 лет. Среди многих посмертных признаний ее работы Чикагская медицинская школа Университета медицинских наук Финча изменила свое название на Университет медицины и науки Розалинды Франклин в 2004 году. , и принял изображение ее знаменитого рентгеновского дифракционного изображения ДНК в качестве официального логотипа университета.

Структуры кристаллических металлов и простых ионных соединений могут быть описаны в терминах упаковки сфер. Атомы металлов могут упаковываться в гексагональные структуры с плотнейшей упаковкой, кубические структуры с плотнейшей упаковкой, объемно-центрированные структуры и простые кубические структуры. Анионы в простых ионных структурах обычно принимают одну из этих структур, а катионы занимают пространство, остающееся между анионами.Небольшие катионы обычно занимают тетраэдрические отверстия в наиболее плотно упакованном массиве анионов. Более крупные катионы обычно занимают октаэдрические пустоты. Катионы еще большего размера могут занимать кубические отверстия в простом кубическом массиве анионов. Структуру твердого тела можно описать, указав размер и форму элементарной ячейки и содержимое ячейки. Тип структуры и размеры элементарной ячейки можно определить с помощью рентгенодифракционных измерений.

• [латекс]n{\lambda} = 2d\;\text{sin}\;{\theta}[/latex]

Химия Упражнения в конце главы

1. Опишите кристаллическую структуру железа, которое кристаллизуется с двумя эквивалентными атомами металла в элементарной кубической ячейке.
2. Опишите кристаллическую структуру платины, которая кристаллизуется с четырьмя эквивалентными атомами металла в кубической элементарной ячейке.
3. Какое координационное число атома хрома в объемно-центрированной кубической структуре хрома?
4. Какое координационное число атома алюминия в гранецентрированной кубической структуре алюминия?
5. Металлический кобальт кристаллизуется в гексагональной плотноупакованной структуре. Какое координационное число у атома кобальта?
6. Металлический никель кристаллизуется в кубической плотноупакованной структуре.Какое координационное число у атома никеля?
7. Вольфрам кристаллизуется в объемно-центрированной кубической элементарной ячейке с длиной ребра 3,165 Å.

   (а) Каков атомный радиус вольфрама в этой структуре?

   (b) Рассчитайте плотность вольфрама.

Платина
8. (атомный радиус = 1,38 Å) кристаллизуется в кубической плотноупакованной структуре. Вычислите длину ребра гранецентрированной кубической элементарной ячейки и плотность платины.
9. Барий кристаллизуется в объемно-центрированной кубической элементарной ячейке с длиной ребра 5. 025 Å

   а) Каков атомный радиус бария в этой структуре?

   (b) Рассчитайте плотность бария.

10. Алюминий (атомный радиус = 1,43 Å) кристаллизуется в кубической плотноупакованной структуре. Вычислите длину ребра гранецентрированной кубической элементарной ячейки и плотность алюминия.
11. Плотность алюминия 2,7 г/см ³ ; у кремния 2,3 г/см ³ . Объясните, почему Si имеет более низкую плотность, хотя в нем более тяжелые атомы.
12. Свободное пространство в металле можно найти, вычитая объем атомов в элементарной ячейке из объема ячейки. Вычислите процент свободного пространства в каждой из трех кубических решеток, если все атомы в каждой из них имеют одинаковый размер и касаются своих ближайших соседей. Какая из этих структур представляет собой наиболее эффективную упаковку? То есть, что упаковывается с наименьшим количеством неиспользуемого пространства?
13. Сульфид кадмия, иногда используемый художниками в качестве желтого пигмента, кристаллизуется с кадмием, занимая половину тетраэдрических отверстий в плотно упакованном массиве сульфидных ионов. Какова формула сульфида кадмия? Поясните свой ответ.
14. Соединение кадмия, олова и фосфора используется в производстве некоторых полупроводников. Он кристаллизуется с кадмием, занимающим одну четверть тетраэдрических отверстий, и оловом, занимающим одну четверть тетраэдрических отверстий в плотно упакованном массиве фосфид-ионов. Какова формула соединения? Поясните свой ответ.
15. Какова формула магнитного оксида кобальта, используемого в записывающих лентах, который кристаллизуется с атомами кобальта, занимающими одну восьмую тетраэдрических отверстий и половину октаэдрических отверстий в плотно упакованном массиве оксидных ионов?
16. Соединение, содержащее цинк, алюминий и серу, кристаллизуется с наиболее плотно упакованным массивом сульфид-ионов.Ионы цинка находятся в одной восьмой части тетраэдрических отверстий, а ионы алюминия — в половине октаэдрических отверстий. Какова эмпирическая формула соединения?
17. Соединение таллия и йода кристаллизуется в простой кубической матрице ионов йодида с ионами таллия во всех кубических отверстиях. Какова формула этого йодида? Поясните свой ответ.
18. Какой из следующих элементов реагирует с серой с образованием твердого тела, в котором атомы серы образуют плотно упакованный массив со всеми занятыми октаэдрическими отверстиями: Li, Na, Be, Ca или Al?
19. Какова массовая доля титана в рутиле, минерале, содержащем титан и кислород, если структуру можно описать как плотно упакованный массив оксидных ионов с ионами титана в половине октаэдрических отверстий? Какая степень окисления у титана?
20. Объясните, почему химически сходные хлориды щелочных металлов NaCl и CsCl имеют различное строение, а химически разные NaCl и MnS имеют одинаковое строение.
21. Поскольку минералы формировались из расплавленной магмы, разные ионы занимали одни и те же места в кристаллах. Вместе с магнием в минералах часто встречается литий, несмотря на различие зарядов их ионов. Предложите объяснение.
22. Иодид рубидия кристаллизуется с кубической элементарной ячейкой, которая содержит ионы йодида по углам и ион рубидия в центре. Какова формула соединения?
23. Один из различных оксидов марганца кристаллизуется с кубической элементарной ячейкой, которая содержит ионы марганца по углам и в центре.Оксид-ионы расположены в центре каждого края элементарной ячейки. Какова формула соединения?
24. NaH кристаллизуется с той же кристаллической структурой, что и NaCl. Длина ребра кубической элементарной ячейки NaH составляет 4,880 Å.

    (a) Рассчитайте ионный радиус H ⁻ . (Ионный радиус Li ⁺ составляет 0,0,95 Å.)

    (b) Рассчитайте плотность NaH.

25. Иодид таллия (I) кристаллизуется с той же структурой, что и CsCl. Длина ребра элементарной ячейки TlI равна 4.20 Å. Рассчитайте ионный радиус TI ⁺ . (Ионный радиус I ⁻ равен 2,16 Å.)
26. Кубическая элементарная ячейка содержит ионы марганца в углах и ионы фтора в центре каждого края.

    а) Какова эмпирическая формула этого соединения? Поясните свой ответ.

    б) Какое координационное число имеет ион Mn ³⁺ ?

    (в) Рассчитайте длину ребра элементарной ячейки, если радиус иона Mn ³⁺ равен 0,65 А.

    (d) Рассчитайте плотность соединения.

27. Каково расстояние между плоскостями кристалла, преломляющими рентгеновские лучи с длиной волны 1,541 нм под углом θ , равным 15,55° (отражение первого порядка)?
28. Дифрактометр, использующий рентгеновские лучи с длиной волны 0,2287 нм, дал дифракционный пик первого порядка для кристаллического угла θ = 16,21°. Определите расстояние между дифрагирующими плоскостями в этом кристалле.
29. Металл с расстоянием между плоскостями, равным 0,4164 нм, дифрагирует рентгеновские лучи с длиной волны 0.2879 нм. Какой угол дифракции соответствует дифракционному пику первого порядка?
30. Золото кристаллизуется в элементарной гранецентрированной кубической ячейке. Отражение второго порядка (n = 2) рентгеновских лучей для плоскостей, составляющих верх и низ элементарных ячеек, составляет θ = 22,20°. Длина волны рентгеновского излучения составляет 1,54 Å. Какова плотность металлического золота?
31. Когда электрон в возбужденном атоме молибдена падает с L на K-оболочку, испускается рентгеновское излучение. Эти рентгеновские лучи преломляются под углом 7.75° плоскостями с расстоянием 2,64 Å. Какова разница в энергии между K-оболочкой и L-оболочкой в ​​молибдене, если предположить дифракцию первого порядка?

Глоссарий

объемно-центрированная кубическая (BCC) сплошная

кристаллическая структура, имеющая кубическую элементарную ячейку с точками решетки по углам и в центре ячейки

элементарная объемно-центрированная кубическая ячейка

простейшее повторяющееся звено объемно-центрированного кубического кристалла; это куб, содержащий точки решетки в каждом углу и в центре куба

Уравнение Брэгга

уравнение, связывающее углы, под которыми рентгеновские лучи дифрагируют на атомах внутри кристалла

координационный номер

число атомов, ближайших к любому данному атому в кристалле или к центральному атому металла в комплексе

плотнейшая кубическая упаковка (CCP)

кристаллическая структура, в которой плоскости плотно упакованных атомов или ионов уложены друг на друга в виде серии из трех чередующихся слоев с различными относительными ориентациями (АВС)

дифракция

перенаправление электромагнитного излучения, возникающее при встрече с физическим барьером соответствующих размеров

гранецентрированная кубическая (FCC) сплошная

кристаллическая структура, состоящая из элементарной кубической ячейки с точками решетки по углам и в центре каждой грани

элементарная гранецентрированная кубическая ячейка

простейшее повторяющееся звено гранецентрированного кубического кристалла; это куб, содержащий точки решетки в каждом углу и в центре каждой грани

шестиугольная ближайшая упаковка (HCP)

кристаллическая структура, в которой плотно упакованные слои атомов или ионов уложены друг на друга в виде серии из двух чередующихся слоев с различной относительной ориентацией (AB)

отверстие

(также междоузлие) пространство между атомами внутри кристалла

изоморфный

с такой же кристаллической структурой

восьмигранное отверстие

открытое пространство в кристалле в центре шести частиц, расположенных по углам октаэдра

простая кубическая элементарная ячейка

(также примитивная кубическая элементарная ячейка) элементарная ячейка в простой кубической структуре

простая кубическая структура

кристаллическая структура с кубической элементарной ячейкой с точками решетки только в углах

пространственная решетка

все точки внутри кристалла с одинаковым окружением

четырехгранное отверстие

тетраэдрическое пространство, образованное четырьмя атомами или ионами в кристалле

элементарная ячейка

наименьшая часть пространственной решетки, которая повторяется в трех измерениях, образуя всю решетку

Рентгеновская кристаллография

экспериментальная методика определения расстояний между атомами в кристалле путем измерения углов, под которыми дифрагируют рентгеновские лучи при прохождении через кристалл

Решения

Ответы на упражнения в конце главы по химии

1. Структура этой низкотемпературной формы железа (ниже 910 ° C) является объемно-центрированной кубической. В каждом из восьми углов куба находится по одной восьмой атома и по одному атому в центре куба.

3. восемь

5. 12

7. (а) 1,370 Å; (б) 19,26 г/см

9. (а) 2,176 Å; (б) 3,595 г/см ³

11. Кристаллическая структура Si показывает, что он менее плотно упакован (координационное число 4) в твердом теле, чем Al (координационное число 12).

13.В плотно упакованном массиве для каждого аниона существует две тетраэдрические дырки. Если занята только половина тетраэдрических отверстий, числа анионов и катионов равны. Формула сульфида кадмия — CdS.

15. Со ₃ О ₄

17. В простой кубической матрице только одна кубическая дырка может быть занята катионом для каждого аниона в матрице. Соотношение таллия и йодида должно быть 1:1; следовательно, формула таллия — TlI.

19,59,95%; Степень окисления титана +4.

21. Оба иона близки по размерам: Mg 0,65; Ли, 0,60. Это сходство позволяет им довольно легко обмениваться местами. Разница в заряде обычно компенсируется заменой Si ⁴⁺ на Al ³⁺ .

23. Мн ₂ О ₃

25. 1,48 Å

27. 2,874 Å

29. 20,2°

31. 1.74 × 10 ⁴ эВ

Упражнение 3: Кристаллическая структура

В кристалле атомы расположены прямыми рядами в трехмерном периодическом узоре.Небольшая часть кристалла, которая может быть повторена, чтобы сформировать весь кристалл, называется элементарной ячейкой.

Кристалл можно определить несколькими способами. Один из способов — повторить примитивную элементарную ячейку в каждом векторе трансляции,

Здесь $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ — векторы примитивной решетки, а $h$, $k$ и $l$ — целые числа. Векторы примитивной решетки не уникальны; возможны различные варианты векторов примитивной решетки.

Другим распространенным способом определения кристалла является указание параметров решетки $(a,b,c,\alpha,\beta,\gamma )$, пространственной группы и асимметричной единицы. Параметры решетки $a$, $b$ и $c$ — длины сторон параллелепипеда; $\alpha$ — угол между $b$ и $c$; $\beta$ — угол между $a$ и $c$; $\gamma$ — угол между $a$ и $b$. Этот параллелепипед может иметь больший объем, чем примитивная элементарная ячейка.Если можно использовать кубическую элементарную ячейку, кристаллографы используют наименьший возможный куб в качестве обычной элементарной ячейки. Для простой кубической обычной элементарной ячейки является примитивная элементарная ячейка, но для ОЦК обычная элементарная ячейка в два раза больше объема примитивной элементарной ячейки, а для ГЦК обычная элементарная ячейка имеет объем, в четыре раза превышающий объем примитивной элементарной ячейки. Асимметричная единица — это минимальное количество атомов, которое необходимо указать для создания основы путем применения симметрий пространственной группы к асимметричной единице.

Параметры решетки, обычные элементарные ячейки и примитивные элементарные ячейки некоторых распространенных кристаллических структур связаны ниже.

3.1 Объясните, что такое решетка Браве и что такое базис. Как можно построить основу из асимметричной единицы?

3.2 Фторид кальция, CaF ₂ , имеет ГЦК решетку Браве и основу с Ca в положении 000 и F в дробных координатах ¼ ¼ ¼ и ¾ ¾ ¾ обычной (кубической) элементарной ячейки. Нарисуйте одну условную (кубическую) элементарную ячейку структуры.Нарисуйте примитивную элементарную ячейку. Постоянная решетки $a = $ 5,451 Å. Каково расстояние от атома Ca до атома F в ангстремах?

3.3 Графен представляет собой двумерную решетку, построенную непрерывным расположением правильных шестиугольников sp²-гибридизированных атомов углерода (см. ниже). Расстояние между ближайшими соседними атомами составляет 0,14 нм.

(а) Что такое решетка Браве графена?

(b) Нарисуйте примитивную элементарную ячейку Вигнера-Зейтца.

в) Сколько атомов содержится в примитивной элементарной ячейке?

(d) Определите базисные векторы, описывающие положения атомов в элементарной ячейке.Запишите эти базисные векторы сначала в терминах абсолютных положений (с компонентами x и y и расстояниями в ангстремах), а затем в дробных координатах. Для дробных координат дайте положения в терминах обычных векторов решетки. В этом случае обычные векторы решетки совпадают с векторами примитивной решетки.

3.4 Пространственная группа кристалла 227. Как можно определить точечную группу и решетку Браве этого кристалла?

3.5 Традиционные параметры элементарной ячейки и решетки графита показаны ниже.

Что такое решетка Браве, базис, векторы примитивной решетки и объем элементарной элементарной ячейки?

3.6 Ниже показана обычная (кубическая) элементарная ячейка из цинковой обманки ZnS. Обратите внимание на сходство со структурой алмаза.

а) Сколько атомов каждого типа содержится в обычной элементарной ячейке?

(б) Что такое решетка Браве?

(c) Приведите набор фундаментальных векторов переноса $(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3)$, которые можно использовать для определения примитивной элементарной ячейки.Сколько атомов содержится в примитивной клетке?

3.7 Ниже показан двумерный кристалл.

(a) Нарисуйте элементарную ячейку, обозначающую два вектора примитивной решетки в этой плоскости. Сколько атомов содержится в примитивной элементарной ячейке?

(b) Нарисуйте двумерную решетку Браве.

3.8 Полоний образует простой кубический кристалл с одним атомом в основании. Постоянная решетки составляет 3,359 Å.

Плотность Po равна 9.{\circ}$. Вычислите объем примитивной элементарной ячейки через $a$.

3.10 Покажите для идеальной структуры ГПУ, что отношение $c/a$ равно

3.11 Существует четыре орторомбических решетки Браве, но только две тетрагональные решетки Браве.

(a) Покажите, что тетрагональная решетка с центром в основании (C) эквивалентна примитивной (P) тетрагональной решетке.

(b) Покажите, что гранецентрированная (F) тетрагональная решетка эквивалентна объемноцентрированной (I) тетрагональной решетке.

Четырнадцать решеток Браве

3.12 Изобразите следующие кристаллические структуры: простая кубическая, ГЦК, ОЦК, NaCl, CsCl, гексагональная, тетрагональная и орторомбическая.

3.13 Покажите, что максимальная доля имеющегося объема, который может быть заполнен твердыми сферами, расположенными на различных решетках, составляет: простая кубическая, 0,52; объемно-центрированная кубическая, 0,68; гранецентрированный куб, 0,74.

Индексы Миллера
Каждая точка решетки Браве может быть достигнута из начала координат с помощью вектора переноса вида

, где $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ — векторы примитивной решетки, а $h$, $k$ и $l$ — целые числа, называемые Индексы Миллера. Направление, на которое указывает вектор $\vec{T}_{hkl}$, обозначается квадратными скобками $[hkl]$. При наличии направлений, эквивалентных в силу симметрии, любое из эквивалентных направлений указывается угловыми скобками <$hkl$>.

Например, в кубической системе:
= [100], [010], [001], [-100], [0-10], [00-1]
= [110], [-1-10 ], [1-10], [-110], [101], [-10-1], [-101], [10-1], [011], [0-1-1], [0- 11], [01-1].

Часто знаки «минус» рисуются в виде линий [-10-1] = $\left[\overline{1}0\overline{1}\right]$.Это произносится как один бар, ноль, один бар.

Плоскости
Используя индексы Миллера, плоскости обозначаются изогнутыми скобками $(hkl)$. Плоскость $(hkl)$ пересекает ось в направлении $\vec{a}_1$ в точке $\frac{|\vec{a}_1|}{h}$, ось в направлении $\vec {a}_2$ в точке $\frac{|\vec{a}_2|}{k}$, а ось в направлении $\vec{a}_3$ в точке $\frac{|\vec{a} _3|}{l}$.

Эквивалентные плоскости обозначаются фигурными скобками $\{hkl\}$. Три точки, которые можно использовать для определения плоскости $(hkl)$: $\left( \frac{a_{1x}}{h},\frac{a_{1y}}{h},\frac{a_{1z }}{h} \right)$, $\left(\frac{a_{2x}}{k},\frac{a_{2y}}{k},\frac{a_{2z}}{k} \ справа)$ и $\left(\frac{a_{3x}}{l},\frac{a_{3y}}{l},\frac{a_{3z}}{l}\right)$. Вектор нормали к этой плоскости можно определить, взяв векторное произведение двух векторов в плоскости. Если $(h,k,l \ne 0)$, два подходящих вектора $\vec{v}_1=\frac{\vec{a}_1}{h}-\frac{\vec{a}_3} {l}$ и $\vec{v}_2=\frac{\vec{a}_2}{k}-\frac{\vec{a}_3}{l}$. Единичный вектор нормали к плоскости $(hkl)$ равен

Для кубических кристаллов $\vec{T}_{hkl}$ нормальна к $(hkl)$ и параллельна $\hat{n}_{hkl}$, но это, как правило, неверно для кристаллов с другими симметриями.{\circ}$. Из этой информации мы можем сделать вывод, что векторы примитивной решетки равны $\vec{a}_1 = a\,\hat{x}$, $\vec{a}_2 = a\,\hat{y}$ и $ \vec{a}_3 = c\,\hat{z}$. Какова длина вектора переноса $\vec{T} = 2\vec{a}_1 + 6\vec{a}_2 + 5\vec{a}_3$? Какой единичный вектор указывает в направлении $\vec{T}$? Какие индексы Миллера задают это направление в кристалле?

(b) Параметры решетки простого гексагонального кристалла: $a = b = 3$ Å, $c = 4$ Å, $\alpha = \beta = 90^{\circ}$, $\gamma = 120^ {\circ}$. Из этой информации определяют векторы примитивной решетки. Какова длина вектора переноса при $h = 4$, $k = 3$ и $l = 1$?

3.16 Изобразите плоскости (111) и (222) в простой кубической элементарной ячейке с постоянной решетки $a$. Определите нормальное расстояние между двумя плоскостями.

3.17 Изобразите кристаллическую структуру NaCl. Что такое решетка Браве? Какую форму имеет ячейка Вигнера-Зейтца? Каково положение атомов основы, заданное в дробных координатах условной (кубической) элементарной ячейки? Нарисуйте плоскость (111).

3.18 Рассчитайте угол между направлением [110] и направлением [111] для моноклинной решетки с a  = 0,3 нм, b  = 0,4 нм, c  = 0,5 нм и β = 107°.

3.19 Металл имеет ГЦК кристаллическую структуру. Постоянная решетки составляет 0,38 нм, а атомный вес атомов равен 85. Постоянная решетки представляет собой длину обычной (кубической) элементарной ячейки. Масса атома – это атомный вес, умноженный на постоянную атомной массы $u$ = 1.6605402 × 10 ^-27 кг.

а) Какова плотность этого металла?

б) Каково расстояние между соседними атомами?

c) Металл разрезают так, чтобы (111) был виден на поверхности. Нарисуйте расположение атомов, которое вы бы увидели, если бы посмотрели на эту поверхность. Отметьте два направления в плоскости (111).

3.20 ОЦК кристалл разрезают так, что плоскость (011) выходит на поверхность. Нарисуйте расположение атомов на поверхности кристалла.Как можно экспериментально определить расположение атомов на поверхности металла?

Набор плоскостей, перпендикулярных вектору \(A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z}\), равен

, где \(C\) — любая константа. Если известна точка \( (x_0,y_0,z_0)\) на плоскости, можно вычислить \(C\),

Приложение ниже решит 3 линейных уравнения для трех неизвестных. (Он определяет точку пересечения трех плоскостей.)

3.21 Грани ячейки Вигнера-Зейтца определяются плоскостями, которые перпендикулярно делят пополам векторы от начала координат до точек решетки Браве. Чтобы определить, где находятся углы ячейки Вигнера-Зейтца, необходимо найти точки пересечения трех плоскостей. Для ОЦК-решетки векторы примитивной решетки равны

$\vec{a}_1=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y}-\hat{z}),\quad \vec{a}_2=\frac{a {2}(-\шляпа{x}+\шляпа{y}+\шляпа{z}),\quad\vec{a}_3=\frac{a}{2}(\шляпа{x}-\ шляпа{у}+\шляпа{z})$.

Здесь $a$ — длина стороны условной элементарной кубической ячейки. В какой точке пересекаются плоскости, делящие пополам векторы $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$ и $\vec{a}_3$?

3.22 Индексы Миллера $hkl$ обозначают конкретную плоскость в решетке Браве, в качестве обозначения плоскости индексы Миллера даются в круглых скобках. Обратите внимание, что три индекса Миллера взаимно просты (teilerfremd). Это означает, что плоскость пересекает точки решетки Браве. Пример плоскости (623) показан ниже.

(a) Нарисуйте плоскость (313).

(b) Нарисуйте плоскость (340).

3.23. Плоскость пересекает кристаллографические оси кристалла в точках $3\vec{a}$, $4\vec{b}$ и $6\vec{c}$, где $\vec{a}$, $\vec{b}$ , а $\vec{c}$ — векторы примитивной решетки. Каковы индексы Миллера этой плоскости?

3.24 Изобразите ячейки Вигнера-Зейтца следующих решеток:

1. Наклонная решетка в 2D
2. Центральная прямоугольная решетка в 2D
3. ОЦК решетка в 3D

В двух измерениях решетка Браве имеет два вектора примитивной решетки \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).Длины этих векторов представляют собой постоянные решетки \(a\) и \(b\). Угол между векторами примитивной решетки равен \(\gamma\). Имеется пять двумерных решеток Браве,

• кубический: \(a = b\), \(\gamma\) = 90°.
• шестиугольный: \(a = b\), \(\gamma\) = 120°.
• прямоугольный: \(a \neq b\), \(\gamma\) = 90°.
• прямоугольных с центром: \(a \neq b\), \(\gamma\) = 90° и две точки решетки на элементарную ячейку.
• наклонная: \(a \neq b\), \(\gamma \neq \) 90°.

Если для описания периодической структуры можно использовать несколько решеток Браве, существуют правила приоритета для определения двумерных решеток Браве.

1. Используйте решетку Браве с наивысшей симметрией (кубическая > шестиугольная > прямоугольная > наклонная).
2. Используйте решетку Браве с наименьшей площадью элементарной ячейки.
3. Используйте Браве с наименьшими постоянными решетки a и b.
4. Используйте \(a \leq b\), \(\gamma \geq \) 90°.

3.25 В мозаике Каира двумерная плоскость полностью заполнена пятиугольниками. Геометрия одного пятиугольника образована четырьмя сторонами одинаковой длины (синий цвет) и одной стороной разной длины (красный цвет) и углами 90° и 120°.

(a) Определите двумерную решетку Браве мозаики Каира.

(b) Нарисуйте векторы элементарной ячейки \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) и заключенный в них угол \(\gamma\).

(c) Определить \(\gamma\).

(d) Сколько тайлов находится в одной элементарной ячейке?

3.26 Мозаика треугольник-шестиугольник покрывает двумерную плоскость равносторонними треугольниками и шестиугольниками. Участвуют две разные длины (нарисованы синим и красным) с соотношением 3:2. Расположение плиток показано на рисунке ниже.

(a) Определите двумерную решетку Браве мозаики.

(b) Нарисуйте точки решетки Браве.

(c) Нарисуйте векторы элементарной ячейки \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) и заключенный в них угол \(\gamma\).

(г) Сколько треугольников и сколько шестиугольников в элементарной ячейке?

(e) Сколько треугольников и сколько шестиугольников связано с одной точкой решетки Браве?

3. {\circ})$ четыре индекса Миллера $(hkil)$ используются для обозначения кристаллографической плоскости. Индекс Миллера $i$ задается как $i = -h-k$. Использование индекса $i$ упрощает идентификацию эквивалентных плоскостей (эквивалентными плоскостями называются плоскости с одинаковым межплоскостным расстоянием $d_{hkl}$ гексагональной решетки, поскольку циклическая перестановка индексов $hki$ внутри $(hkil)$ дает эквивалентные самолеты

Показать графически все плоскости, эквивалентные (11-20).

3.28 Полюса – это направления, перпендикулярные кристаллографической плоскости

Рассмотрим орторомбическую решетку с постоянными решетки $a = 3$ Å, $b = 4$ Å, $c = 5$ Å.Укажите (приблизительное) направление полюсов плоскости (210), которое представляет собой кристаллографическое направление [uvw], ориентированное перпендикулярно плоскости (210).

Комментарий:
Эта задача может быть решена графически, графическое решение более сложно для плоскости общего вида (213).

3.29 Рассмотрим кубическую решетку. Укажите единственное кристаллографическое направление [uvw], лежащее в плоскости (111). Обратите внимание, что в плоскости (111) много направлений.

Более сложная задача: рассмотрим триклинную решетку.Укажите все кристаллографические направления [uvw], лежащие в плоскости (111).

Исследование пространства свойств периодических клеточных структур на основе кристаллических сетей

Значение

Обнаружение подлинной новизны в клеточных структурах по своей сути затруднено из-за многочисленных возможных топологических и геометрических конфигураций и их сложных механических и физических взаимосвязей. Здесь мы черпаем вдохновение из невероятно богатой коллекции кристаллографических периодических сетей, которые мы интерпретируем со структурной точки зрения, чтобы идентифицировать и разрабатывать новые клеточные структуры с уникальными свойствами.Мы предоставляем готовый к использованию каталог с более чем 17 000 уникальных позиций и показываем, как кристаллографическая симметрия связана с их механическими свойствами. Наша работа обеспечивает основу для поддержки будущих приложений в науке и технике, начиная от механических и оптических метаматериалов, инженерии костной ткани и заканчивая проектированием электрохимических устройств.

Abstract

Свойства периодических ячеистых структур сильно зависят от регулярного пространственного расположения составляющих их основных материалов и могут управляться путем изменения топологии и геометрии повторяющейся элементарной ячейки.Недавние достижения в трехмерных (3D) технологиях производства все больше и больше расширяют пределы возможностей изготовления реальных архитектурных материалов и усиливают потребность в новых микроструктурных топологиях для приложений во всех масштабах длины и областях как в фундаментальной науке, так и в инженерной практике. Здесь мы систематически исследуем, интерпретируем и анализируем общедоступные топологии кристаллографических сетей со структурной точки зрения и предоставляем готовый к использованию каталог элементарных ячеек с более чем 17 000 уникальных записей. Мы показываем, что молекулярные кристаллические сети с атомами, связанными химическими связями, можно интерпретировать как ячеистые структуры с узлами, соединенными механическими перемычками. Таким образом, мы идентифицируем новые структуры с экстремальными свойствами, а также известные структуры, такие как октетная ферма или ячейка Кельвина, и показываем, как кристаллографические симметрии связаны с механическими свойствами структур. Наша работа вдохновляет на открытие новых клеточных структур и прокладывает путь к вычислительным методам исследования и проектирования микроструктур с беспрецедентными свойствами, преодолевая разрыв между микроскопической кристаллохимией и макроскопической структурной инженерией.

Кристаллографы были одними из первых, кто изучил организационные принципы, лежащие в основе формирования узоров и различных топологий сетей в твердых материалах, и связал их с их общими макроскопическими свойствами (1, 2). Подобно этим кристаллографическим сетям, свойства периодических сотовых структур могут быть разработаны путем управления архитектурой повторяющейся элементарной ячейки (3). Это приводит к целенаправленному проектированию ячеистых структур с улучшенными макроскопическими механическими свойствами, такими как отрицательный коэффициент Пуассона (4, 5), отличное отношение прочности к весу (6, 7) и контролируемая нестабильность (8, 9).Хотя обнаружение новых микроструктур оказалось необходимым для разработки будущих приложений и технологий (10, 11), многие спроектированные ячеистые структуры в машиностроении (12, 13), фундаментальной науке (14⇓–16) и передовом производстве (17, 18) основаны на небольшой выборке хорошо изученных дизайнов. Обнаружение подлинной новизны в клеточных структурах по своей сути затруднено из-за многочисленных возможных топологических и геометрических конфигураций и их сложных механических и физических взаимосвязей.Чтобы решить эти трудности, последние вычислительные методы, основанные на базе данных (19, 20), поддерживают проектирование ячеистых структур путем создания параметризованных элементарных ячеек из исходных наборов данных различных топологий. Эти первоначальные топологии часто по-прежнему основаны на хорошо известных структурах из литературы, но в дальнейшем модифицируются вычислительными методами, такими как алгоритмы поиска и интерполяции или оптимизация топологии, для более широкого заполнения пространства проектирования (19, 20). Однако открытие новых структур требует, чтобы формализация лежащего в основе пространства поиска также обладала этой внутренней новизной.Подходы к оптимизации чистой топологии, которые могут обеспечить эту новизну, часто очень дороги в вычислительном отношении, особенно в трехмерном (3D) случае, и демонстрируют неоднозначность и сильную начальную чувствительность решений (21). Это делает результаты очень чувствительными к внешним ограничениям, где альтернативные решения с аналогичными свойствами, но с другой топологией могут значительно улучшить общее качество результатов. Следовательно, формализация предшествующих знаний и разнообразия для контроля и увеличения диапазона жизнеспособных решений или для поиска альтернативных конфигураций может быть очень полезной как для методов, основанных на базе данных, так и для подходов к оптимизации топологии.

Чтобы облегчить проектирование новых микроструктурных архитектур и дополнить существующие вычислительные методы, в этой работе мы систематически исследуем, интерпретируем и анализируем невероятно богатую коллекцию топологий кристаллографических периодических сетей со структурной точки зрения. Мы предоставляем готовый к использованию каталог элементарных ячеек, содержащий в общей сложности 17 087 уникальных записей, предлагая инженерам и ученым источник знаний и вдохновения, существенно расширяя ограниченный набор известных элементарных ячеек из литературы с помощью топологий на основе кристаллических сетей. .Наш каталог и результаты в этой статье основаны на двух общедоступных базах данных Reticular Chemistry Structure Resource (RCSR) (22, 23) и Euclidean Patterns in Non-Euclidean Tilings (EPINET) (24, 25). Из-за общности нашего подхода он легко применим к анализу других кристаллографических баз данных или генерации совершенно новых структур, основанных на основных математических принципах. Для создания нашего каталога мы применяем интегрированную методологию проектирования и моделирования, основанную на числовой гомогенизации, представленную на рис.1 А . Мы исследуем получившееся пространство механических свойств и покажем, как общие геометрические особенности соотносятся со структурами на крайних точках отображаемых пространств. Далее мы идентифицируем как новые структуры с экстремальными свойствами, так и хорошо известные структуры из литературы, такие как октетная ферма или ячейка Кельвина, и показываем, как кристаллографическая симметрия связана с их механическими свойствами. Чтобы сделать нашу работу доступной для будущих приложений, мы предоставляем полный текстовый каталог вместе с визуализацией всех структур и 360-градусными поверхностными эпюрами модуля Юнга соответственно (26, 27).Кроме того, в нашем каталоге представлено множество структур, которые составляют основу для фундаментальных междисциплинарных исследований, включая разработку каркасов для регенерации костной ткани (28), литий-ионных аккумуляторов большой емкости на основе микроструктур (29) или биоинспирированных прочных решеток. (30), а также большой выбор новых структур с эквивалентными механическими свойствами, которые могут способствовать дальнейшим разработкам или стимулировать инновации во многих дисциплинах как в науке, так и в технике.

( A ) Обзор метода. На первом этапе мы получаем кристаллографические данные 17 087 уникальных кристаллических сетей из двух общедоступных баз данных RCSR и EPINET. Мы используем программу SYSTRE (32) для получения параметризованных элементарных ячеек с явными положениями узлов и связностью стержней. Затем используется подход численной гомогенизации с периодическими граничными условиями для вычисления эффективных свойств всех элементарных ячеек при одинаковой относительной плотности. Наконец, мы визуализируем диапазон свойств всех структур и определяем структуры с интересными или экстремальными свойствами.( B ) Химическое описание минимальной единицы биметаллического α-полония, подобного берлинской лазури ( слева ) и соответствующей ему трехмерной сети ( справа ), где атомы Fe и M интерпретируются как узлы, а атомы C–N связи интерпретируются как стержни, соединяющие узлы. Перепечатано из исх. 31. Авторское право (2005 г.), с разрешения Elsevier.

Кристаллические сети как ячеистые структуры

В кристаллохимии кристаллические твердые тела или кристаллы представляют собой твердые материалы с регулярной периодической микроструктурой.Их пространственное расположение регулируется атомными силами между атомами, что приводит к образованию молекулярных сетей. Теоретически эти молекулярные сети простираются бесконечно, и представление внутреннего принципа организации этой микроструктуры называется связанной кристаллической сетью или просто сетью (31). Благодаря периодичности кристаллических сеток их пространственная реализация может быть полностью описана наименьшим возможным набором составляющих элементов — элементарной ячейкой. Поскольку этот порождающий принцип минимальной воспроизводимой элементарной ячейки присутствует как в кристаллографических структурах, так и в архитектурно-ячеистых структурах, мы можем установить аналогию между двумя областями. Следовательно, следуя кристаллографическому сетевому представлению атомов, соединенных различными связями, кристаллическую сеть можно также интерпретировать в контексте структурной инженерии как заполняющую пространство макроскопическую ячеистую структуру с узлами, соединенными сплошными стержнями (3). Эта аналогия схематически показана на рис. 1 B , на котором соотносятся биметаллический α-полоний, подобный берлинской лазури (слева) и соответствующая ему кубическая сетка (справа) (адаптировано из ссылки 31).

Периодичность бесконечной кристаллической сетки позволяет компактно кодировать ее структурные особенности на основе общей геометрии элементарной ячейки и положения узлов и ребер в элементарной ячейке.Геометрия трехмерной элементарной ячейки определяется одной из 14 решеток Браве, сохраняющих трансляционную симметрию, которые натянуты на три неколлинеарных базовых вектора, описывающих форму и размер элементарной ячейки. Пространственная реализация кристаллической сетки в евклидовом пространстве, т. е. положение узлов и ребер, соединяющих узлы, непосредственно связана с узловыми положениями атомов в элементарной ячейке и химическими связями между ними и обычно отражает вложение с максимально возможной симметрией.В простейшем случае вложение получается путем объединения ближайших узлов в ребра, что соответствует упаковке сфер с идеально равными длинами ребер. Для более сложных структур вложение с максимальной симметрией может иметь более низкую симметрию, и равные длины ребер не всегда возможны. Наборы операций симметрии, которые составляют окончательные реализации сетей, объединены в 230 пространственных групп в 3D и классифицированы по отношению к операциям точечной симметрии и лежащим в их основе кристаллографическим системам.Поскольку все возможные конфигурации периодических структур в евклидовом пространстве соответствуют одной из пространственных групп, кристаллография дает нам исчерпывающее и краткое математическое описание, которое мы можем использовать для построения и проектирования сотовых структур. В этой работе мы используем программу SYSTRE (32) с релаксированным барицентрическим методом размещения (33) для вычисления реализаций структур в нашем каталоге.

Две общедоступные базы данных, используемые в этой работе, база данных RCSR (22) и база данных EPINET (23), централизуют кристаллографические данные многочисленных материалов и соединений и дополнительно предоставляют информацию о структуре лежащих в их основе сетей.Всего мы оцениваем 17 087 уникальных сетей, которые представляют собой пространственное расположение молекул, обнаруженных в реальных материалах и соединениях, а также гипотетические сети, которые еще не наблюдались экспериментально. Чтобы установить связь между названиями структур в нашей работе и их соответствующими топологическими признаками, мы даем описательное имя для каждой структуры в виде cub_Z12.0_E19, которое включает кристаллическую систему (триклинную, моноклинную, орторомбическую, тетрагональную, тригональную). , шестиугольный или кубический), определяемый первыми тремя буквами, средней связностью Za как важным параметром для классификации топологии структуры и уникальным идентификатором, состоящим из буквы E или R и порядковым номером, который связывает структуры к двум исходным базам данных и облегчает отслеживание.

Пространство механических свойств ячеистых структур в каталоге

Мы вычисляем линейно-упругие эффективные свойства материалов всех структур в каталоге, используя подход численной гомогенизации (34). В 3D требуется шесть независимых загружений для определения гомогенизированной эффективной матрицы жесткости CH. Для сравнения механических свойств различных структур размеры элементарной ячейки равномерно отмасштабированы при постоянном радиусе стержня r=0,1 мм, так что относительная плотность ρ¯=0.01 получается. Предполагается твердый основной материал с модулем Юнга Es=1 МПа и коэффициентом Пуассона νs=0,3. Мы проверяем структуру гомогенизации путем сравнения с аналитическими результатами из литературы и экспериментальными результатами испытаний на одноосное сжатие выбранных конструкций ( SI Приложение , рис. S1). Чтобы оценить диапазон свойств ячеистых структур в каталоге и идентифицировать топологии с экстремальным механическим поведением, мы вычисляем и визуализируем гомогенизированные эффективные модули Юнга, модули сдвига и коэффициенты Пуассона для всех структур. Текстовый каталог элементарных ячеек (26) включает геометрическую и механическую информацию обо всех конструкциях. Дополнительный набор данных в исх. 25 дополнительно включает изображения всех структур и соответствующих упругих поверхностей на 360° модуля Юнга, зависящего от ориентации. Более подробную информацию можно найти в Методах и в Приложение SI .

Рис. 2 A и B показывают эффективный модуль Юнга E и эффективный модуль сдвига G в логарифмическом масштабе в трех основных направлениях глобальной декартовой системы координат x , y , z , и свойства, спроецированные на плоскость xy , плоскость yz и плоскость xz соответственно.Диапазон свойств в трех направлениях охватывает несколько порядков между 10-8 и 10-3. Мы используем три прозрачные биссектрисы для обозначения областей с одинаковыми свойствами в двух из трех основных направлений. Следовательно, пересечение этих трех плоскостей представляет собой линию, содержащую структуры с одинаковым модулем Юнга во всех трех направлениях, что характерно для кубического и изотропного поведения материала. Большинство структур, которые мы анализируем, находятся на трех биссектрисных плоскостях и линии их пересечения или вблизи них, что означает, что по крайней мере два из трех направлений напрямую связаны структурной симметрией.Красные штрихпунктирные линии показывают границы Фойгта, которые представляют собой теоретический максимум модуля Юнга и модуля сдвига. В зависимости от модулей упругости основных материалов и относительных плотностей (EVoigt=Es∗ρ¯ и GVoigt=Gs∗ρ¯) они представляют собой наиболее общие оценки для ячеистых структур (35). Более подробное обсуждение теоретических границ можно найти в SI Приложение .

Эффективные механические свойства всех 17 087 структур в каталоге и избранных примеров.( A ) Эффективный модуль Юнга в трех основных направлениях глобальной системы координат x , y , z и значения, спроецированные на плоскость yz , плоскость xz и плоскость xy . самолета соответственно. На вставках e1–e4 показаны элементарные ячейки структур, которые содержат геометрические и топологические паттерны, характерные для соответствующей области на графике. Для простоты положения изображены только в одной из плоскостей проекций.Три цветные прозрачные плоскости обозначают области с одинаковыми свойствами в двух направлениях. ( B ) Эффективный модуль сдвига в трех основных направлениях глобальной системы координат и значения, спроецированные на плоскость yz , плоскость xz и плоскость xy соответственно. ( C ) Аксонометрический вид элементарных ячеек 2 × 2 × 2 структур e1–e4 и g1–g2. ( D ) Элементарные ячейки известных структур из литературы, которые также встречаются в каталоге.Их механические свойства обозначены крестиками в A и C . Для простоты маркеры показаны только в плоскости проекции xy . ( E – H ) Примеры сложной конструкции из литературы, где в каталоге встречаются аналогичные конструкции. ( E ) Воспроизведено со ссылки. 43, который находится под лицензией CC BY 4.0. ( F ) Воспроизведено с разрешения исх. 46. ​​Springer Nature: Nature Materials, Copyright 2016.( G ) Из арт. 47. Перепечатано с разрешения AAAS. ( H ) Перепечатано со ссылки. 21. Авторское право (2000 г.), с разрешения Elsevier.

На вставках с e1 по e4 на рис. 2 A и на вставках g1 и g2 на рис. 2 B показаны элементарные ячейки репрезентативных структур, расположенных вблизи границ пространства свойств. На рис. 2 C показаны те же структуры в мозаике из элементарных ячеек 2 × 2 × 2. Структуры, показанные в этой работе, не обязательно представляют собой структуры с самыми экстремальными значениями, найденными в каталоге, но структуры в тех же областях интереса с аналогичными свойствами, которые лучше подходят для описания лежащих в основе топологических и геометрических моделей.Для простоты расположения точек данных конструкций, рассмотренных на рис. 2 A и B , указаны только на одной из трех плоскостей проекций, а точные значения приведены в SI Приложение .

На вставках e1 и e2 показаны примеры структур с двумя часто встречающимися паттернами, которые приводят к большим модулям Юнга в трех основных координатных направлениях x , y , z . Структура cub_Z06.0_E1 в e1 состоит из прямых стержней вдоль трех направлений, что интуитивно ожидаемо как простейший шаблон для высокой однонаправленной жесткости.Структура cub_Z07.2_R972 в e2 также имеет относительно высокую жесткость, но значительно сложнее с более высокой средней связностью в узлах Za=7,2. Средняя связность описывает среднее количество стержней, соединенных в узле конструкции, и может быть напрямую связана с механическими свойствами. В общем случае связность Za≥6 является необходимым, но недостаточным условием жесткости периодических балочных структур (36). Жесткие конструкции связаны с преобладанием растяжения, тогда как нежесткие конструкции демонстрируют поведение с преобладанием изгиба. Однако условие достаточности жесткости в [1] 34 применяется только к особому классу аналогично расположенных сооружений. Таким образом, для оценки жесткости всех структур каталога и обеспечения их сопоставимости выводятся скейлинговые соотношения между осевой жесткостью в главных координатных направлениях и относительной плотностью вида E/Es∼ρ¯n. Масштабный показатель n указывает на поведение с преобладанием растяжения (n=1) или изгиба (n=2) соответственно (37, 38). Подробное обсуждение жесткости каркасов и масштабирования плотности включено в SI Приложение .Для структуры cub_Z07.2_R972 масштабный показатель равен n=1,0 и подтверждает жесткое поведение в основных направлениях координат.

В нижней части спектра свойств материала структура cub_Z03.0_R2234 в e3 является представителем структур, которые чрезвычайно податливы во всех трех направлениях, где низкая средняя связность Za<6 и n=2,0 указывает на поведение с преобладанием изгиба . Кроме того, на вставке e4 показана структура с сильным анизотропным поведением (hex_Z04. 3_R529), расположенная близко к границе проецируемого пространства свойств.Комбинация податливых элементов, таких как сотовые ячейки (как видно на мозаике на рис. 2 C ), и жестких элементов, таких как прямые стержни, позволяет отделить упругие свойства в разных пространственных направлениях и часто встречается в граничных областях. пространство собственности. Эта анизотропия жесткости также видна на 360-градусных графиках упругой поверхности модуля Юнга, которые представлены для всех конструкций в исх. 25. Заметим, что направления максимальной жесткости конструкций не всегда совпадают с направлениями системы координат x , y , z , как это имеет место, например, для конструкций с диагональными стержнями, ориентированными на 45° относительно главных осей.Эти шаблоны часто встречаются среди конструкций с высокой жесткостью на сдвиг, таких как конструкция cub_Z07.4_R679 на вставке g1 на рис. 2 B , поскольку диагональные стержни непосредственно укрепляют конструкции в основных направлениях сдвига. В отличие от этого, конструкции с низкой сдвиговой жесткостью часто характеризуются множеством переплетенных элементов с различной ориентацией и низкой средней связностью, которые локально создают высокие изгибающие нагрузки. На вставке g2 показана структура, представляющая архитектуры этого региона (cub_Z03.6_E9066). Подробное обсуждение анизотропии жесткости конструкций можно найти в SI Приложение .

Похожие структуры из литературы

Некоторые примеры из каталога демонстрируют структуры, характеристики которых хорошо известны в области ячеистых материалов (12, 39⇓⇓–42). На рис. 2 D показаны четыре примера таких конструкций. Механические свойства конструкций с преобладанием растяжения, таких как восьмигранная ферма (вставка d1, cub_Z12.0_E19) и усиленная объемно-центрированная кубическая ячейка (d2, cub_Z14.0_E38) исследуются во многих исследованиях и используются при проектировании жестких и легких конструкций (12, 39). Аналогичным образом, в каталоге можно найти структуры с преобладанием изгиба с меньшей жесткостью, такие как объемно-центрированная кубическая ячейка (d3, cub_Z08. 0_E3) и тетракадекаэдр (d4, cub_Z04.0_E970), также известная как ячейка Кельвина (40). , 41). Крестики на рис. 2 A и C указывают эффективные модули Юнга и сдвига этих четырех структур, которые одинаковы в трех основных направлениях из-за их кубической симметрии.

Рис. 2 E – G показаны примеры более сложных структур из литературы и соответствующих структур, найденных в нашем каталоге, соответственно. Первая структура на рис. 2 E представляет собой трижды периодическую минимальную поверхность или структуру гироида, которая среди прочего описана в ref. 43. Структура гироида имеет высокое отношение поверхности к объему, высокую удельную прочность и высокую связность пор, что делает ее особенно подходящей для биомедицинских применений. Эта геометрия также встречается в идеализированной трехмерной объемной структуре графена (44).На нижнем изображении на рис. 2 E показаны 2 × 2 × 2 элементарные ячейки структуры cub_Z04.5_E14462. Структура напоминает структуру гироида, показанную на верхнем изображении, но твердые поверхности дискретизированы четырех- и пятисоединенными стержнями. Поскольку структуры в базе данных EPINET основаны на периодических поверхностях, трижды периодические минимальные поверхности включены в качестве подкласса и часто встречаются в каталоге. Дискретизированную структуру из каталога можно интерпретировать как иерархическую реализацию изначально твердооболочечной структуры с стержнями и гироидом как двумя уровнями иерархии с разными характерными масштабами длины.Иерархические структуры часто встречаются в природе, например, в костных структурах, и вызвали значительный интерес в исследованиях структурной инженерии из-за их улучшенных механических свойств (45). На рис. 2 F ( Top ) показан пример из арт. 46, где структура с преобладанием изгиба на более высоком уровне иерархии дискретизируется меньшими стержнями, образуя структуры с преобладанием растяжения на более низком уровне иерархии. На нижнем изображении рис. 2 F изображена структура cub_Z06.0_E12702, который напоминает структуру из исх. 46 и определяется элементарной ячейкой ромба с преобладанием изгиба на более высоком уровне иерархии. На более низком уровне иерархии каждая часть ромбовидной ячейки дискретизирована меньшими полосами со связностью, равной шести, и поведением с преобладанием растяжения. Иерархическая система, встречающаяся в природе, показана в верхней части рис. 2 G в виде скелетной системы Euplectella sp. Euplectella sp. Конструкция состоит из горизонтальных, вертикальных и диагональных стоек, расположенных в квадратном шахматном порядке в миллиметровом масштабе (47).Структура tet_Z04.3_E11423 из каталога, просматриваемая в направлении z , сильно напоминает этот паттерн и показывает, что кодирование структур на основе кристаллографии не только описывает топологию микроскопических молекул, но также способно фиксировать эволюционные паттерны, обнаруженные в природе на гораздо большие масштабы длины. Недавняя работа исх. 30 также указывает, что структура на основе Euplectella sp и подобная tet_Z04.3_E11423 может быть использована для проектирования механически прочных конструкций.На рис. 2 H ( Top ) показан другой тип иерархической структуры, двумерная (2D) реализация которой является результатом обратной задачи гомогенизации, предложенной в ссылке. 21. Структура имеет большой объемный модуль с низким модулем сдвига и сочетает в себе гексагональную микроструктуру на более высоком уровне иерархии с параллельными пластинчатыми стержнями на более низком уровне иерархии. 3D-реализация этого особого узора находится в нашем каталоге в структуре cub_Z04.0_E13519. Эта структура изначально представляет собой иерархический гироид, подобный примеру на рис.2 Е . Однако рисунок ламината становится видимым, если рассматривать структуру в изометрической проекции, совпадающей с направлением плоскости сдвига под углом 45°. Хотя многослойный узор в этом примере представляет собой всего лишь двухмерную проекцию множества слоев трехмерной гироидной структуры, тем не менее он возникает в результате применения кристаллографических симметрий и мозаики и показывает, что принципы кристаллографической организации могут использоваться для дополнения существующих вычислительных подходов к оптимизировать свойства микроструктур.

Коэффициент Пуассона

Рис. 3 A показывает коэффициенты Пуассона νzx и νzy для всех структур в каталоге (другие указания приведены в SI Приложение ). На вставке вверху справа на рис. 3 A показан диапазон от −0,2≤ν≤1,3, в котором находится около 91% всех структур каталога. Кроме того, многие структуры лежат на двух диагональных линиях νzy=-νzx или νzy=νzx или вблизи них или на линиях νzx=0 и νzy=0. Чтобы подчеркнуть влияние симметрии, связанной с пространственной группой, структуры сгруппированы в соответствии с их кристаллической системой.На уровне микроскопического материала принцип Неймана утверждает, что симметрия физических свойств напрямую связана с симметрией точечной группы соответствующего кристалла (48). Следовательно, симметрия кристалла уменьшает количество независимых материальных констант в соответствии с кристаллической системой. В то время как триклинные материалы полностью анизотропны с 21 независимой константой, это число уменьшается до 3 для кубических материалов. Кубическая симметрия имеет максимально возможную симметрию и включает случай изотропных материалов с двумя независимыми константами, где две из трех констант связаны.Как правило, для анизотропных материалов коэффициент Пуассона (49) не ограничен, поэтому самые экстремальные значения обнаруживаются в структурах с наименьшей симметрией. Этот вывод согласуется с литературными данными, где экстремальные эластичные механические свойства связаны с сильной анизотропией материала (50). И наоборот, изотропные структуры, которые представляют структуры с наивысшей симметрией, ограничены -1 ≤ ν ≤ 0,5, как налагается критерием термодинамической устойчивости, т. Е. Положительной определенностью тензора жесткости.Эти пределы справедливы для всех структур с по крайней мере кубической симметрией и только для одного независимого значения коэффициента Пуассона ν=νzy=νzx (желтые точки на рис. 3 A ). Поскольку каталог содержит всего три структуры триклинной симметрии с коэффициентами Пуассона меньше 1, их отдельные маркеры не видны на рис. 3 A .

( A ) Коэффициенты Пуассона νzx,νzy всех 17 087 структур в каталоге и подробный вид диапазона −0.2≤ν≤1,3. Выделенные области визуализируют диапазон свойств. Цвета точек и областей указывают на различные кристаллические системы. На вставках n1–n3 показаны элементарные ячейки структур, содержащие геометрические и топологические паттерны, характерные для соответствующей области. На вставках n4 и n5 показаны структуры mon_Z04.0_E8038 и mon_Z04.3_E4603 с максимальным и минимальным коэффициентами Пуассона. ( B ) Различные виды нескольких элементарных ячеек структур на вставках n1–n3.Темные линии выделяют закономерности, связанные с соответствующим механическим поведением структур. ( C ) Коэффициент Пуассона и значение анизотропии Зинера для всех 641 структур с кубической симметрией. Значение Z , близкое к 1, указывает на изотропное поведение. На вставке z1 показана ауксетическая структура с кубической симметрией. На вставке z2 показана структура со значением Зинера, близким к 1, и коэффициентом Пуассона, близким к 0,5, которая идентифицируется как возможный экстремальный пентамодовый материал. ( D ) Аксонометрический вид и вид спереди элементарных ячеек 2 × 2 × 2 ауксетической структуры cub_Z04.1_E13435. Темными линиями отмечены различные хорошо известные паттерны, вызывающие ауксетичное поведение. ( E ) Изображение первого изготовленного пентамодового метаматериала и его элементарной ячейки на основе структуры алмаза. Биконические сечения стержней с очень малыми диаметрами вблизи узлов резко увеличивают отношение объемного модуля к модулю сдвига. Перепечатано из исх. 14, с разрешения AIP Publishing. ( F ) Изображение 2 × 2 × 2 элементарных ячеек структуры cub_Z03.6_R487 с биконическими стержнями.Для сравнения размеры a,d,D выбраны в соответствии с исх. 55. ( G ) Эффективный модуль Юнга, модуль сдвига и объемный модуль структуры cub_Z03.6_R487 для различных значений d. Сплошные линии показывают масштабные отношения B∝d и G∝d3 (не подходят). Максимальное значение B/G≈670 указывает на поведение пентамоды.

Рис. 3 A ( Врезки ) показаны примеры конструкций с экстремальными деформациями при деформации сжатия в направлении z . Структура ort_Z04.0_R193 на вставке n1 расширяется в направлении y (νzy=6,99) и сжимается в направлении x (νzx=-6,01). Это поведение обеспечивается наклонными вертикальными полосами, соединенными с наклонными горизонтальными полосами. Это создает структуры, похожие на ножницы, как показано на виде сверху и на виде спереди на рис. 3 B . Эти связанные наклонные столбцы встречаются в большинстве моноклинных структур с экстремальными значениями вдоль линии νzy=-νzx, а также встречаются в структурах с наиболее экстремальными свойствами, mon_Z04.0_E8038 и mon_Z04.3_E4603, которые показаны на вставках n4 и n5. Структура ort_Z03.8_E4453 на вставке n2 расширяется в направлении х (νzy = 9,09) с относительно небольшим сжатием в направлении х (νzx = -0,16). На рис. 3 B показано, что ромбовидное расположение стержней объясняет расширение в направлении y в этой конструкции, тогда как горизонтальные прямые стержни предотвращают большие деформации в направлении x . Как и ранее рассмотренная несвязанная жесткость, комбинация элементов с преобладанием растяжения, таких как прямые стержни, и элементов с преобладанием изгиба, таких как ромбические или ножницеобразные конструкции, позволяет отделить податливые формы деформации в анизотропных структурах.На вставке n3 показана структура tet_Z03.8_E5841, которая сжимается в направлении x и в направлении y одновременно. Эта структура является частично ауксетичной с коэффициентами Пуассона νzx=νzy=-3,33. Основная часть элементарной ячейки структуры состоит из двух скрученных цепочек в форме двойной спирали. Вид сверху на структуру n3 с элементарными ячейками 2 × 2 × 2 на рис. 3 B показывает хорошо известную модель повторного входа, которая вызывает ауксетическое поведение (51). Однако структура является анизотропной, и ее ауксетическое поведение проявляется только в двух различных направлениях.

Поскольку структуры с более высокой симметрией, то есть с кубическим или изотропным поведением, представляют особый интерес для исследователей и инженеров, мы используем индекс Зенера Z=2C44/(C11−C12) (52) для количественной оценки степени анизотропии в наших структуры. Он связывает три независимых кубических коэффициента упругой жесткости и определяет отношение максимального и минимального модуля сдвига материала. Таким образом, Z=1 указывает на полностью изотропное поведение. На рис. 3 C показаны коэффициент Пуассона ν и коэффициент Зинера для всех структур с кубической симметрией, где все возможные изотропные структуры лежат в пределах −1≤ν≤0.5. Кроме того, никакие структуры с отрицательными коэффициентами Пуассона не расположены на линии изотропии Z=1 или достаточно близко к ней. Все структуры, которые можно отнести к изотропным, имеют коэффициенты Пуассона ν≥0,15. Однако в каталоге присутствуют ауксетические структуры с кубической симметрией. Одним из примеров новой ауксетической структуры является структура cub_Z04.1_E13435 с коэффициентом Пуассона ν=-0,26, показанная на вставке z1. На виде спереди структуры с элементарными ячейками 2 × 2 × 2 на рис. шаблон.Несмотря на то, что эти образцы часто встречаются и используются в литературе для проектирования кубических ауксетических материалов, ни одна из структур из нашего каталога не приближается к очень низким значениям, как сообщает, например, Chen et al. (20). Мы связываем это с тем фактом, что в отличие от литературы, где экстремальные значения в основном достигаются с помощью сложных структур оптимизации и поиска, наши структуры просто получены из кристаллических сетей без какой-либо дальнейшей оптимизации.

Экстремальные конструкции

Далее мы ищем конструкции с экстремальными свойствами, для которых эффективный тензор жесткости C имеет одно или несколько собственных значений, значительно превышающих остальные (53).Собственные векторы, связанные с очень маленькими или относительно большими собственными значениями, описывают наборы деформаций, при которых конструкции ведут себя податливо или жестко, соответственно. Особенно распространены в литературе пентамодовые структуры с пятью податливыми модами и только с одной жесткой модой, что делает их привлекательными для таких приложений, как эластомеханическая маскировка (54). Эти структуры являются жесткими только при гидростатическом давлении, что приводит к очень большому объемному модулю B. В идеале модуль сдвига G становится равным нулю, в результате чего отношение B/G становится бесконечно большим.Отсюда следует коэффициент Пуассона ν=3−2(G/B)2(G/B)+6=0,5, что характерно для изотропных жидкостей. Следовательно, эти материалы часто называют метафлюидами (14). Предыдущее уравнение обеспечивает большое отношение B/G для изотропных метафлюидов, характеризуемых индексом Зенера, близким к 1. Вставка в правом верхнем углу рис. 3 C подробно показывает этот диапазон свойств. Типовой структурой, которая квалифицируется как квазиизотропная пентамодовая структура с Z=1,05 и ν=0,496, является сеть cub_Z03.6_R487, показанная на вставке z2, которая описывает молекулярное расположение натриево-платиновой бронзы, NaxPt3O4.Шесть собственных значений матрицы соответствия: [9,9×10-6, 9,9×10-6, 9,9×10-6, 1,9×10-5, 1,9×10-5, 3,3×10-3], где последнее собственное значение на два-три порядка больше, чем все остальные значения. Модуль сдвига G≈9,86×10-6 и объемный модуль B≈1,11×10-3 дают отношение B/G≈113. Собственный вектор e ≈ [−0,58, −0,58, −0,58, 0,0, 0,0, 0,0], связанный с наибольшим собственным значением, представляет три нормальных напряжения и три напряжения сдвига и подтверждает, что единственная жесткая мода действительно соответствует случаю гидростатического давления. .Аналогичный пример из литературы на рис. 3 E показывает ромбовидную элементарную ячейку как первый изготовленный и экспериментально подтвержденный пентамодный метаматериал (14). Биконическая форма с малым радиусом стержней в узлах дополнительно снижает сдвиговую жесткость конструкции и обеспечивает значения B/G>104. Чтобы сравнить масштабируемость свойств пентамоды структуры cub_Z03.6_R487 с результатами из ссылки. 55 цилиндрические стержни заменяем биконическими стержнями (рис.3 F ) и варьировать меньший диаметр в узлах d. На рис. 3 G показаны эффективные модуль Юнга, модуль сдвига и модуль всестороннего сжатия структуры cub_Z03.6_R487, полученные с помощью конечно-элементного моделирования с использованием коммерческого программного пакета Abaqus 6.14–1 для различных значений d на двойном логарифмическом масштаб (подробности можно найти в SI Приложение ). Результаты показывают, что модуль сдвига и объемный модуль, как и в исх. 55, приблизительный масштаб с G∝d3 и B∝d, как показано сплошными линиями.Это дает соотношение B/G≈670 для наименьшего d=0,225 мм, что также аналогично результатам, представленным в ссылке. 55 для структур на основе элементарной ячейки алмаза. Несмотря на то, что подробный анализ, как в исх. 14, 55 выходит за рамки этой работы, этот пример снова показывает, как исследовательский выбор базовых ячеек из нашего каталога, основанный на знаниях, может помочь исследователям идентифицировать и проектировать структуры с архитектурными или экстремальными свойствами. В общем, поиск этих структур всегда является компромиссом между эффективным численным моделированием для изучения обширного пространства проектирования ячеистых структур и всесторонним моделированием для полного захвата и использования их сложного механического и физического поведения.В этой работе мы склоняемся к исследовательской стороне проектирования материалов и предоставляем огромное количество структур-кандидатов для дальнейшего использования с помощью проектирования на основе баз данных, оптимизации и передовых методов производства.

Заключение

Таким образом, мы исследуем диапазон механических свойств сотовых структур, которые мы получаем, интерпретируя пространственное расположение сетей молекулярных кристаллов в контексте структурной инженерии. Наши выводы основаны на оценке 17 087 уникальных элементарных ячеек, которые мы предоставляем в виде готового к использованию каталога, включая их геометрическое и механическое описание, а также их визуализацию.Мы показываем, что внутренние принципы организации микроскопических сетей обеспечивают основу для обнаружения хорошо известных и новых клеточных структур с заданными свойствами. Далее мы показываем, что экстремальные свойства часто возникают из-за повторяющихся паттернов, основанных на простых геометрических особенностях, которые могут быть связаны с лежащими в их основе кристаллографическими симметриями. Наконец, наша работа показывает, что кристаллографические знания обеспечивают богатый источник вдохновения для открытия новых клеточных структур и создают области поиска, исследование которых может мотивировать проектирование архитектурных структур с беспрецедентными свойствами для будущих приложений во многих областях исследований и масштабах длины.

Методы

Сетевые описания в обеих кристаллографических базах данных, RCSR и EPINET, даются в упрощенной сетевой нотации, основанной на элементарных ячейках решетки и кристаллографических пространственных группах. Пространственные группы обеспечивают всестороннее математическое описание симметрий в кристаллических сетях и классифицируются в отношении операций точечной симметрии и лежащей в основе кристаллографической системы. Чтобы получить явное уникальное описание всех узловых позиций и связности стержней, мы используем программное обеспечение SYSTRE (Symmetry Structure Recognition) (32).SYSTRE использует ослабленный барицентрический метод размещения (33) для вычисления ячеек с идеальным симметричным размещением узлов в дробных координатах и ​​соответствующей мозаикой, которые затем обрезаются и преобразуются в декартовы координаты (подробности приведены в SI, Приложение ). Ориентация глобальной декартовой системы координат выбрана для удобства таким образом, чтобы три оси x , y , z совпадали с основными кристаллографическими направлениями примитивной кубической ячейки.Следуя этому подходу, наш каталог описаний элементарных ячеек создается на основе декодирования в общей сложности 2 730+14 532−135−40=17 087 записей из базы данных RCSR и базы данных EPINET, исключая двойные записи и структуры с очень маленькими элементами, которые вызывают числовые вопросы. Мы применяем подход численной гомогенизации (34), основанный на конечно-элементной балочной модели Эйлера-Бернулли, ко всем 17 087 уникальным элементам каталога, чтобы вычислить эффективные упругие свойства эквивалентных ячеистых структур в форме симметричной матрицы жесткости CH и матрицы податливости SH =(СН)−1.Для сравнения все структуры масштабированы до относительной плотности ρ ~ = 0,01 при постоянном радиусе стержня r = 0,1 мм. Более подробную информацию о реализации можно найти в SI Приложение .