Из любого натурального числа нарисовать животное: § 2.1. Алгоритмы и исполнители

01.05.2023 Facebook Twitter LinkedIn Google+ Разное

Содержание

Значение и роль чисел в повседневной жизни

  • Авторы
  • Руководители
  • Файлы работы
  • Наградные документы

Третьяков А.А. 1

1МБОУ «Центр образования №32»

Елисеева О.Г. 1

1МБОУ «Центр образования №32»

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы»

Платон

«Все располагается согласно числам»

Пифагор

Введение

Актуальность темы моего исследования состоит в том, что числа очень важны в нашем мире. Без чисел нам было бы очень трудно и неинтересно жить. Хоть числа и произошли очень давно, их актуальность в современном мире приобретает все большее значение. Все современные технологии связаны с цифрами и называются цифровыми, вся информация и даже музыка хранится в цифровом формате.

Магические свойства чисел волновали людей тысячи лет. До нас дошли «Святая троица», нечетное число цветов в букете, «Чертова дюжина», во многих странах нет самолетов и домов с номером 13 и т.д. Нумерология даты рождения позволяет выявить скрытые возможности, рассказать, что дано человеку от рождения и указать наилучшую для развития личности дорогу.Хотя нумерология и получила огромную популярность сравнительно недавно, родилась эта наука ещё в стародавние времена.

Меня заинтересовала следующая проблема:

А что мы знаем, про то, какую роль играют числа в нашей жизни?

Исходя из вышесказанного, в этой исследовательской работе я поставил следующие

цели:

Исследовать числа, с которыми мы встречаемся в жизни.

Показать, какое влияние числа оказывают на нашу жизнь.

Задачи исследования:

Изучить материал об истории возникновения чисел;

Определить, где и как используются числа в нашей жизни;

Определить, где встречаются числа в природе;

Провести опрос по теме среди учащихся 5 классов и сделать выводы по полученным результатам;

Научиться находить необходимую информацию в различных источниках;

Изучить методы построения спирали.

Гипотеза исследования:

Если между числами и окружающим миром существует взаимосвязь, то мир не может существовать без чисел.

Объектом исследования являются числа.

Предмет исследования – роль числа в нашей жизни.

Методами исследования являлись:

— наблюдения по использованию чисел в повседневности;

— изучение и отбор фактов по использованию разных видов чисел;

— установление взаимосвязи между ними;

— анкетирование учащихся;

— анализ результатов.

Практическая значимость

данной работы: найти связь между цифрами и нашей жизнью.

Нумерология. Числа вокруг нас.

Существует целая система верований о мистических связях чисел с физическими объектами, процессами и жизнью людей и их сознанием, которые взаимосвязаны и влияют друг на друга – нумерология. Зародилась она несколько тысячелетий назад в Древнем Египте. Её родоначальником был математик и астролог Пифагор (580-500 гг. до н.э.). Он выдвинул убеждение о том, что над всем в жизни человека господствуют числа.

Несмотря на то, что именно Пифагора считают отцом нумерологии чисел, эту науку давно развивали другие народы. Именно египетские жрецы создали уникальную числовую систему, позволяющую сопоставить конкретные качества человека с определенной цифрой.

Древние жители Египта выразили знание магии чисел и гармонии пропорций в своем искусстве и архитектуре. Косвенные свидетельства того, что Египет обладал этим знанием, являются числовые пропорции пирамид, которые до сих пор поражают наше воображение.

Пифагор первым понял: числа вовсе не абстрактны и имеют свою индивидуальность, характер. Он заметно Философ открыл числовые выражения интервалов музыкального строя. Он доказал, что четыре известных в то время музыкальных интервала можно выразить в пропорции между цифрами 1 и 4. Это привело Пифагора к созданию «Гармонии сфер», символически выражаемой в тетрактиде (четверице, то есть в сумме первых четырех чисел – 1 + 2 + 3 + 4 = 10), которая содержит основные музыкальные интервалы: октаву (2:1), квинту (3:2) и кварту (4:3).

Пифагор и его последователи свели все числа до однозначных – от 1 до 9, поскольку они являются исходными, из которых получаются все другие.

Нумерология нашла признание и в России. Так, граф Лев Толстой, великий русский писатель, был убежденным сторонником нумерологии. Рожденный 28 августа 1828 г., Толстой считал, что число 28 играет очень важную роль в его судьбе и до конца жизни верил в его мистическую силу: именно 28 октября, незадолго до смерти, он навсегда покинул свой дом в Ясной Поляне.

Числа в нашей жизни играют невообразимо важную роль. Они окружают нас повсюду. С самого нашего рождения мы приобретаем целый ряд значимых для нас чисел. И потом числа не покидают нас: мы пользуемся ими при счете предметов, денежных единиц, отсчитывании времени, календарных дней. Не стоит забывать, что числа необходимы для очень многих специальностей, и особенно технических. Так же мы не обойдемся без чисел при наборе телефонного номера, снятии показаний с разнообразных счетчиков.

Смотрим ли мы спортивную программу или покупаем продукты в магазине, читаем пословицы или поговорки, загадываем ли загадки – везде нас окружают числа.

Трудно представить нашу жизнь сейчас без чисел. Все смешается, спутается. Жизнь очень усложнится. В отношениях между людьми появится много трудностей: начиная с опозданий на работу, различные встречи и заканчивая международными конфликтами. Попробуйте сами некоторое время не пользоваться числами. Это просто невозможно! Числа имеют очень большое значение в повседневной жизни.

В школе мы все время пользуемся числами. Невозможно себе представить любой школьный урок без чисел. На уроках математики я узнал, что числа подразделяются на простые, составные, четные, нечетные, натуральные, целые, дробные и десятичные. Меня заинтересовало, а как эти числа применяются в нашей жизни?

С натуральными числами все понятно. Они нужны для счета или нумерации предметов. Ими мы пользуемся каждый день: считаем количество учеников в классе, количество уроков в день, записываем номера упражнений домашнего задания и для многого, многого другого.

А вот про простые числа так не скажешь. Они очень даже загадочные, т.к. отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности. Я выяснил, что простые числа нашли свое применение в современной криптографии – науке, которая исследует в том числе методы шифрования (тайнописи). Шифрование — это система изменения письма с целью сделать текст непонятным для непосвящённых лиц. Криптограммы имеют важное практическое применение в дипломатии, военном деле и во многих отраслях науки, например, в археологии, лингвистике, биологии, химии. Без криптографии невозможно представить защиту информации в наше время: оплата товаров в интернете, защита банковских карт и т.д.

Числа в природе и мире

Магические числа природе представлены в виде математических форм. Они повсюду: радуга, капли, перья, раковины улиток, цветы, водоёмы планеты, шестиугольные ячейки пчелиных сот, широкие чёткие полосы зебры, волнистая рябь на песке, симметрия снежинки и многое, многое другое. Но есть не подчиняющиеся правилам явления: погода, водопады, мухи, кошки и т. д.

Математика как наука обладает необыкновенной красотой и интеллектуальным богатством. Но для многих людей она всего лишь скучный мир арифметических задачек и малопонятных формул.

Пространство, в котором мы живём, трёхмерно, потому что в нём могут встретиться под прямым углом три линии. У плоскости только два измерения, а у линии только одно. Пространство, состоящее из отдельной точки, не имеет направлений и поэтому обладает нулевой мерностью (рис.1).

Рис.1

Одной из самых распространённых отметок на шкуре животных является полосатость. Порой полосы бывают такими правильными, что ассоциируются с математическими параллельными линиями. Разумеется, коль речь заходит о полосатых животных, первыми на ум приходят зебра и тигр. У зебры полосы броские, отчётливые, совсем не параллельные, явно далёкие от чего-либо математического (рис.2). Также более или менее правильные линии присущи раскраске тропических рыб и морских ракушек (рис.3, 4).

Рис.2 Рис.3 Рис.4

Полосы на ракушках бывают двух видов: большинство следует вдоль спиралей ракушки, иные, бывают, расположены под прямым углом. У некоторых животных, таких, как енот, отчётливые параллельные кольца расположены вдоль хвоста (рис.5).

Рис.5

У некоторых животных – змей, червей, угрей – туловища настолько длинные, что математик не может устоять перед соблазном представить их в виде идеальной прямой линии. Но это невозможно, так как в процессе движения туловища этих животных претерпевают различные извивы и изгибы, обусловленные сокращениями мышц.

Извивы и изгибы встречаются и в неживой природе. Например, мелкая рябь, большие дюны покрыты мелкими складками (рис.6).

Рисунок пчелиных сот выглядит строго математическим – ряд за рядом идеальных шестиугольников, стройно уложенных в плоскостном пространстве (рис.7).

Рис.6 Рис.7

Соты и снежинки имеют общее магическое число – шесть. Различаются они тем, что соты многократно используют одну и ту же модель, а каждая снежинка индивидуальна и неповторима в своём узоре (рис.8).

Какой формы капля дождя? Шар – это форма с наименьшей площадью при заданном объёме. Капли воды принимают форму шара, поскольку поверхностное натяжение ведёт к сокращению площади. Место, где шары могут в полной мере себя проявить – это космос. Все планеты, луны и звёзды шарообразны (рис.9).

Рис.8 Рис.9

При образовании они представляют собой гигантскую каплю из расплавленных горных пород и железа. Движение по орбите вокруг Солнца и собственные  силы гравитации вызывают поверхностное натяжение, поэтому планеты принимают форму шара.

В процессе развития строительства и архитектуры возникла необходимость создать поверхность, содержащую максимальное пространство на минимальной площади. Однако форму шара пришлось исключить, поскольку поверхность нужно создать из ряда жёстких элементов. Для этого архитекторы нашли такое решение: создать форму, как можно больше приближающуюся к форме идеального шара. Основой всех таких форм служит икосаэдр (рис.10).

Эта же форма обычно используется и при изготовлении футбольных мячей (рис.11).

Рис.10 Рис.11

Фибоначчи написал  «Книгу абака», учебник арифметики. В этой книге впервые прозвучала проблема, породившая большое число математического материала. Эта проблема икосаэдр касается кроликов. Если начать с пары кроликов, то через некоторое время эта пара даёт начало новой паре кроликов. В последующие периоды все половозрелые пары дают начало новым парам кроликов. Предполагается, что все кролики бессмертны. Фибоначчи обнаружил закономерность: после первых двух каждое число равно сумме двух предыдущих.                                                             

Числовой ряд Фибоначчи до сих пор используется при изучении популяций животных. Числа Фибоначчи можно встретить в мире растений. У традесканции по 3 лепестка, флоксов и лютиков по 5 лепестков, у дельфиниумов часто бывает по 8, у ноготков 13, у астр 21, а у маргариток и подсолнечника часто бывает 34, 55 и 89 лепестков. У некоторых более крупных подсолнечников насчитывается по 144 лепестка.  У цветков могут встречаться числа, не являющиеся числами Фибоначчи, но они менее распространены. Следовательно, рост растений подчиняется простым, но трудно уловимым математическим законам (рис.12).

Рис.12

О наличии математических моделей в природе, а так же о тонкой грани между геометрией, арифметикой и биологией я постарался показать в своей работе. В природе мы наблюдаем натуральные числа. 1, 2, 3 – размерность пространства; 4, 6, 7, 12, 24, 60, 365 – числа время; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …- числа Фибоначчи, применяемые в биологии. Это, конечно, далеко не полный перечень применения чисел в природе.

Если бы раньше меня спросили: «Что общего имеют Млечный путь, клубника, горный баран и морская раковина?», я, наверное, затруднился бы ответить. А оказывается, что всё это – примеры спиралей (Спираль Фибоначчи в природе, рис.13) и числа здесь играют огромную роль. И таких примеров спиралей в нашей жизни очень много, особенно в природе.

Рис.13 Спираль Фибоначчи в природе

Многие природные процессы развиваются именно по спирали. Например, метель закручивает снежные массы по спиралям, ураган формируется и раскручивается также по спирали. Обыкновенный паук плетет свою паутину спиралеобразно. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Двойной спиралью закручена молекула ДНК. Гете называл спираль «кривой жизни». На ветках деревьев листья растут не беспорядочно, а винтообразно и в направлении по спирали. Спираль четко прослеживается в расположении семян подсолнечника. Ячейки ананаса создают такую же спиралевидную последовательность чисел. Когда потоки воды двигаются по океану и волны прилива подходят к берегу, они изгибаются в форме спирали, которая может быть математически отражена на графике с точками 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34 и 55. Ракушки, тюльпаны и особенно раковины моллюсков, сформированы по той же самой схеме. С каждым приростом раковина приобретает себе ещё один сегмент в соответствии с масштабом Фибоначчи. Эта схема может также быть замечена вокруг нас и в нашей каждодневной жизни. Но самый потрясающий пример, на мой взгляд, числовой спирали находится прямо над нашей головой – это галактика. На протяжении примерно 100 000 световых лет спирали галактики сформированы по абсолютно тому же принципу, как и крошечная раковина моллюска.

Эти закономерности проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов, в строении отдельных органов человека (ухо) и тела в целом, а также в биоритмах и функционировании головного мозга, в зрительном восприятии. В общем, во всём, без чего сложно представить нашу жизнь.

Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, … описывает вот такую спираль (рис.14):

Рис.14. Спираль Фибоначчи

Таким образом, я узнал, где в природе встречаются числа Фибоначчи, и захотел выяснить, а используем ли мы их в жизни? Оказывается, что числа Фибоначчи используются при написании музыки, прогнозировании поведения финансовых рынков, в информатике, в связи и так далее.

Построение и изучение свойств спирали Фибоначчи

А так ли это сложно самому построить спираль при помощи последовательности чисел Фибоначчи?

Я решил попробовать это сделать. Для построения спирали Фибоначчи сначала я строю золотой прямоугольник (рис.15).

Рис.15. Построение золотого прямоугольника с использованием чисел Фибоначчи

Стороны золотого прямоугольника имеют отношение 1,618 к 1.

Сначала рисую единичный квадрат. Добавляю второй такой же квадрат. Строю на длинной правой стороне еще один квадрат, потом по верхней еще один, затем слева, снизу и т.д. Чем дольше продолжаю этот процесс, тем ближе получившийся прямоугольник к золотому.

Но проще всего Золотой прямоугольник построить с помощью циркуля. Данный процесс изображен на рис. 16.

Любой Золотой прямоугольник, как на рис.15, можно разделить на квадрат и меньший Золотой прямоугольник. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти получающиеся прямоугольники, которые я нарисовал, скручиваются внутрь (рис.17).

Рис. 16. Построение Золотого прямоугольникаРис.17. Центр скручивания золотых прямоугольников

Приблизительно из центральной точки рисую спираль, как показано на рис.18, соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке возрастания размера.

Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки соединения выписывают Золотую спираль.

Основные свойства спирали Фибоначчи:

Золотая спираль не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно в направлении внутрь, или наружу. Центральная часть золотой спирали, рассмотренная через микроскоп, имела бы тот же облик, что и самая широкая видимая ее часть на удалении многих световых лет.

В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618.

Проверка 2-го свойства осуществляется просто (рис. 19).

Рис.18. Построение золотой спирали Фибоначчи Рис.19. Проверка отношения длины дуги к ее диаметру

Нарисовав спираль Фибоначчи (рис.19), я, с помощью обыкновенной нитки, получил длину дуги CD. Линейкой измерил длину получившейся нитки и отрезка AB. В нашем случае (рис.19) получили AB=13 и CD=21, таким образом, отношение CD/AB=21/13=1.615 – это достаточно близко к значению 1.618.

Попробовав нарисовать спираль, я пришёл к выводу, что всё гениальное – просто! Мы даже не задумываемся над тем, что привычные для нас вещи и явления таят в себе математические закономерности.

Рис.20. Я строю спираль Фибоначчи Рис.21. Моя спираль Фибоначчи

Анкетирование

Для выяснения того, что знают школьники о числах и их применении в нашей жизни, было проведено анкетирование в 2-х пятых классах нашей школы, в котором приняло участие 55 школьников (рис. 22, 23, 24)

Рис. 22. Анкета

Рис. 23, 24. Проведение анкетирования в 5 «Б» классе МБОУ «ЦО №32»

Анализ данных анкетирования

Проведенное анкетирование показало следующие результаты:

При ответе на первый вопрос «Какие разновидности (виды) чисел вы знаете» самым популярным ответом был — дробные (20%), далее четные (17%), затем нечетные (16%), смешанные (13%), десятичные (12%), натуральные (8%) и по 7% досталось положительным и отрицательным числам (рис. 25). \

Числом или цифрой, чаще всего встречающейся в повседневной жизни, пятиклассники считают:

5 – 37% опрошенных, 1 – 16%, 4 – 13%, 2, 3, 10 – по 7%, 7 – 4%, 6, 0, 8 – по 3% (рис. 26).

Рис. 25. Анкета (вопрос №1) Рис. 26. Анкета (вопрос №2)

Удивительными числами или особенностями чисел школьники считают:

— числа больше миллиона, миллиарда, потому что в них много нулей;

— число гугол (это число 10 в 100-й степени, то есть 1 со 100 нулями. Общеизвестным же это число стало благодаря, названному в честь него, поисковику Google)

— считают, как и многие в мире, несчастливым число 13;

— считают удивительным тот факт, что числа могут быть бесконечными;

— считают удивительным числом для школьников число 5.

4. Наиболее часто встречающимся ответом на четвертый вопрос «Где вы в жизни встречаетесь с числами» был «В школе», затем «Дома», далее «На математике», «В магазине», «На часах», «На улице», «В автобусах», «В интернете, в банках, в календаре, в паролях, в номерах телефонов».

5. Любимыми числами школьников являются (расположены в порядке уменьшения популярности) – 5, 7, 11, 10, 8, 12, 228, число гугол, 15, 18, 13, 100, 666, 777 и т.д.

Выводы

Выполняя данную работу, я понял, что между числами и окружающим нас миром существует тесная взаимосвязь, т. к. многие закономерности природы описываются именно при помощи чисел. Ещё пифогорийцы считали, что «Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными».

Числа нужны сегодня всем – не только специалисту-математику, инженеру, учёному-физику, но и врачу и рабочему, моряку и спортсмену, даже художнику и литератору .

Из всего вышесказанного я могу сделать вывод, что математический подход к окружающему миру – это один из способов познать его. А числа – это орудия математики, с помощью которых мы изучаем предметы и явления природы и общества, а также создаем технологии, возводим надежные и красивые здания, делаем новые научные открытия, и, в конечном итоге, строим нашу жизнь. Все это подтверждает то, что между числами и окружающим миром существует взаимосвязь, и наш современный мир не может существовать без чисел.

Список литература и интернет-источников

Депман И. Я. «Рассказы о математике». Государственное Издательство Детской Литературы Министерства Просвещения РСФСР. Ленинград. 1954 г.

Депман И.Я., Н.Я.Виленкин. «За страницами учебника математики». Москва. Издательство «Просвещение».1989

Лэнгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь». Москва. Издательство «Педагогика». 1987.

«Математика в современном мире». Перевод с английского Н.Г.Рычковой. Москва. Издательство «Мир».1967

http://do.gendocs.ru/docs/index-170151.html?page=10

http://forexanalitics.narod.ru/precter55.html

http://myklass.ucoz.ru/load/vd/ir/magicheskie_chisla/17-1-0-36

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%83%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F

http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=008d3d4a-8960-4207-af81-a9754ff4eb48

http://www. scienceline.ru/geofizika/genialnoe-otkrytie-sdelal-podrostok-nablyudaya-za-derevyami.html

Просмотров работы: 8811

Почему минус на минус дает плюс?

«Враг моего врага — мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т.  д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

  • сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
  • умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
  • сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Как рисовать персонажей животных • Кисть Бардо

Как превратить животное в персонажа?

Животные могут создавать фантастические персонажи для иллюстрации историй и идей. Они полны уникальной индивидуальности, символичности и бывают почти безграничными! Эта статья научит вас нескольким концепциям, которые можно применить, когда вы хотите превратить животное в персонажа.

Посмотрите полное руководство ниже и читайте дальше, чтобы узнать три совета по превращению животных в персонажей.